两条平行导线同向电流_电磁学（9）——磁场对电流的作用，安培力

学习阶段：大学物理。

前置知识：多元微积分、磁场高斯定理、磁场环路定理、力与功。

tetradecane：电磁学（8）——磁场高斯定理，磁场环路定理zhuanlan.zhihu.com

1. 磁场对电流的作用力——安培力

电流是由一连串稳定运动的电荷形成的。运动电荷在磁场中会受到洛伦兹力，而电荷被束缚在载流导线中，自然载流导线在磁场中也会受到磁场的作用力，这个力被称为安培力。法国物理学家安培在磁场对电流的作用上做出了杰出贡献。

图1 电流元的安培力分析

考虑一段电流元

处在磁场

中，假设在

时间中恰有该电流元中的所有正电荷

匀速离开了，则（考虑通过该电流元右侧截面的电荷量可知）电流的大小为

，且电荷运动的速率为

由下文

tetradecane：电磁学（7）——磁场，电流的磁效应，毕奥萨伐尔定律zhuanlan.zhihu.com

中1.2节洛伦兹力的公式

知

那么一段曲线为

的载流导线受到的安培力就是上式做曲线积分的结果，即

这就是安培力的计算公式。

在

为匀强磁场时，可以把它从积分中拿出来，得到

这里

表示曲线

从起点指向终点的向量。也就是说，在匀强磁场中，载流导线所受的安培力只与导线的起点与终点有关，而与其曲线形状无关。

进一步，若

和

垂直，则

，这与高中所学的安培力和左手定则是相容的，如图2所示：

图2 安培力与左手定则

2. 安培力的应用

2.1 两平行直导线的相互作用力

图3 两平行直导线的相互作用力

在

处产生的磁感应强度可以用磁场环路定理计算：

则导线

每长度

受到的安培力为

根据安培力的方向可知：同向电流相互吸引，异向电流相互排斥。

2.2 平面载流线圈在匀强磁场中的受力

图4 分解匀强磁场

如图4所示，磁场

可以分解为垂直分量

和平行分量

，显然垂直分量只会导致线圈扩张或收缩，安培力的合力和合力矩均为零。这里我们假设线圈是刚性的，不会形变，那么线圈的受力只与平行分量有关。

记垂直于载流线圈且符合右手螺旋关系的单位法向量为

，则

图5 将线圈切割为小矩形

如图5所示，可以将线圈切割为无数小矩形，设小矩形的边长分别为

与

. 其中每一块小矩形的上下两条边与磁场平行，无安培力，而左右两条边的安培力等大反向，也就是说合力为零，而力偶矩为

任意两个相邻的矩形合并时，力矩相加（如矩形1与2，矩形2与3），电流等效为最外侧的一圈。也就是说，整个线圈的受力情况等效于这些小矩形的受力情况之和，那么整个线圈的合力也为零，而合力矩为

其中

是线圈的面积。我们称

为线圈的

磁偶极矩/磁矩，那么

是线圈受到的

磁力矩，它的方向与一般力矩的方向一致，符合右手螺旋关系。

2.3 安培力做功

考虑一段电流元在磁场中移动：

图6 一段电流元在磁场中移动

设电流

不变。电流元的方向、磁场可变，记为关于

的函数。

电流元受到的安培力为

这整个过程中安培力做的功为

而电流元扫过的磁通量为

根据向量混合积的性质，有恒等式

故

恒成立。既然电流元满足这种关系，则积分后可知安培力对任意载流导线的功都有该恒等式：

其中

表示载流导线扫过曲面

的磁通量，曲面的正侧可用如下方法判定：将

的边界

视为回路，由导线运动到终点后的电流方向确定其绕行方向，则曲面

的正侧与其边界

符合右手螺旋关系。

再考虑载流线圈在磁场中的运动：

图7 载流线圈在磁场中的运动

线圈在初始状态有一个自己的磁通量

，在终止状态也有一个磁通量

线圈扫过的曲面的磁通量记为

，根据上文的结论，安培力对线圈做的功等于

因为整体构成一封闭曲面，由磁场高斯定理得

故

，即安培力对线圈做的功等于线圈本身磁通量的变化量乘以电流。

总结

安培力公式：

平面载流线圈的磁偶极矩/磁矩

，其中

是线圈的面积，

是线圈符合右手螺旋关系的单位法向量。线圈受到的磁力矩

载流导线移动时，安培力做功

，其中

表示载流导线扫过曲面

的磁通量，曲面的正侧可用如下方法判定：将

的边界

视为回路，由导线运动到终点后的电流方向确定其绕行方向，则曲面

的正侧与其边界

符合右手螺旋关系。

载流线圈移动时，安培力做功

，其中

表示线圈在初始状态的磁通量，

表示线圈在终止状态的磁通量。

原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_36453621/article/details/112487606