跳表的C++实现

//2022.5.25更新:感谢@lhclqslove对remove函数的指正，之前的实现可能会访问空指针。
//2022.7.26更新:感谢@ZYH665对remove函数的指正，之前的实现bug会导致删除高层的索引导致效率降低。
跳表(Skip List)是在链表基础上进行改进的一种有序的数据结构，它为了便于查找，在插入过程中随机地将一些元素提升为高度为1~r的索引，以此来加快之后的操作。索引可以分为多层，一般而言，层数越高的索引个数越少。下面的图是一个跳表示例（隐去表头，上面的为高层）

为了方便下面对代码实现的说明，先给出各数据类型的定义。

template<typename T> 
class skiplist
{
	private:
	static constexpr int MAX_LEVEL = 16;
	static constexpr double P = 0.6;
    //随机数产生相关,#include<random>，详见cppreference
	std::random_device rd;
	std::mt19937 gen;
	std::uniform_real_distribution<> dis;
	struct node
	{
		T data;
		node *next[MAX_LEVEL+1];
		node()
		{
			for(int i=1;i<=MAX_LEVEL;i++)
				next[i] = NULL;
		}
	};
	node *head;
	public:
	skiplist()
	{
		head = new node;
		gen = std::mt19937(rd());
		dis = std::uniform_real_distribution<> (0,1);
	}
};

node型的next[i]表示每个结点第i层的后继结点。与图中分开画的每层不同，存储时每一列结点存在一个node中，如图中的值为5的结点的next[3]指向35，next[2]指向26，next[1]指向13。
(1)查找操作
我们假设跳表已经有如图所示的结构。假设现在要查找27，那么查找将沿如下路径进行：

首先初始化一个指针p指向最高层i=3，不断遍历直至该指针在i层的下一个元素>=查找元素x，如，在第三层执行该操作使得指针指向5结束；此时i–，在第二层继续执行该操作，因此指针最终指向26；在第一层指针指向26，结束。比对p的下一个元素27，发现与待查找元素相等，返回true，否则，若指针为空或不相等，返回false。

代码实现：

bool find(T x)
{
	node *now = head;
	for(int i=MAX_LEVEL;i>=1;i--)
		while(now->next[i] != NULL && now->next[i]->data<x) now = now->next[i];
	if(now->next[1] == NULL) return false;
	if(now->next[1]->data != x) return false;
	return true;
}

代码逻辑与上面的解释基本一致，需要注意的是代码采用了表头，图中未体现。
(2)插入操作
假设链表已具有上面的图示结构。若现在要插入28，并且经过随机化决定将28插入到第1~2层（即高度为2），则插入后应该变为图中这样：

与查找很类似，需要先找到插入的位置。因此经过查找部分的遍历，指针指向了27.不同的是，由于需要修改1~2层的指针，因此需要将每层的，新结点的前驱结点记录下来。如：第2层的前驱节点是26，第1层的前驱节点是27。最后对1~r层的指针进行修改即可，其中r是该节点被随机到的高度。随机化函数采用第一层概率$p_1=q$(记$q=1-p$)，第二层概率是$pq$，第三层概率是$p^{2}q,...$当$n\to \infty$时，易知此数列收敛于$1$.当然实际不允许无穷的层数，用MAX_LEVEL兜底。在测试中$p$在$0.6$左右效果较好。
代码实现：

int randomLevel()
{
	int ret = 1;
	while(ret<MAX_LEVEL && dis(gen)<P)
		ret++;
	return ret;
}
void insert(T x)
{
	node *tmp = new node;
	tmp->data = x;
	node *pre[MAX_LEVEL+1];//前驱
	node *now = head;
	int level = randomLevel();
	for(int i=MAX_LEVEL;i>=1;i--)
	{
		while(now->next[i] != NULL && now->next[i]->data<x) now = now->next[i];
		pre[i] = now;
	}
	
	for(int i=level;i>=1;i--)
	{
		tmp->next[i] = pre[i]->next[i];
		pre[i]->next[i] = tmp;
	}
}

(3)删除操作
与插入很类似，同样记录被删除结点的前驱，使每个被修改的前驱跳过被删除元素指向下一个即可。
代码实现：

bool remove(T x)//删除成功返回true，未找到元素返回false
{
	node *pre[MAX_LEVEL+1];
	node *now = head;
	for(int i=MAX_LEVEL;i>=1;i--)
	{
		while(now->next[i] != NULL && now->next[i]->data<x) now = now->next[i];
		pre[i] = now;
	}
	if(now->next[1] == NULL) return false;
	if(now->next[1]->data != x) return false;

	/*
	 * 2022.7.26修改:最开始没有回收内存,现在把它加上
	 * 经过测试暂时未发现bug, 如有错误还请评论指正
	 */
	node *del = now->next[1];
	for(int i=MAX_LEVEL;i>=1;i--)
    {
		if(pre[i]->next[i] != NULL && pre[i]->next[i] == del) pre[i]->next[i] = pre[i]->next[i]->next[i];
    }
        
	delete del;
	return true;
}

整个测试程序：

#include<set>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<random>
template<typename T> 
class skiplist
{
	private:
	static constexpr int MAX_LEVEL = 16;
	static constexpr double P = 0.6;
	std::random_device rd;
	std::mt19937 gen;
	std::uniform_real_distribution<> dis;
	struct node
	{
		T data;
		node *next[MAX_LEVEL+1];
		node()
		{
			for(int i=1;i<=MAX_LEVEL;i++)
				next[i] = NULL;
		}
	};
	node *head;
	public:
	skiplist()
	{
		head = new node;
		gen = std::mt19937(rd());
		dis = std::uniform_real_distribution<> (0,1);
	}
	int randomLevel()
	{
		int ret = 1;
		while(ret<MAX_LEVEL && dis(gen)<P)
			ret++;
		return ret;
	}
	void insert(T x)
	{
		node *tmp = new node;
		tmp->data = x;
		node *pre[MAX_LEVEL+1];
		node *now = head;
		int level = randomLevel();
		for(int i=MAX_LEVEL;i>=1;i--)
		{
			while(now->next[i] != NULL && now->next[i]->data<x) now = now->next[i];
			pre[i] = now;
		}
		
		for(int i=level;i>=1;i--)
		{
			tmp->next[i] = pre[i]->next[i];
			pre[i]->next[i] = tmp;
		}
	}
	bool remove(T x)
	{
		node *pre[MAX_LEVEL+1];
		node *now = head;
		for(int i=MAX_LEVEL;i>=1;i--)
		{
			while(now->next[i] != NULL && now->next[i]->data<x) now = now->next[i];
			pre[i] = now;
		}
		if(now->next[1] == NULL) return false;
		if(now->next[1]->data != x) return false;

		node *del = now->next[1];
		for(int i=MAX_LEVEL;i>=1;i--)
    	{
			if(pre[i]->next[i] != NULL && pre[i]->next[i] == del) pre[i]->next[i] = pre[i]->next[i]->next[i];
    	}
		delete del;
		
		return true;
	}
	bool find(T x)
	{
		node *now = head;
		for(int i=MAX_LEVEL;i>=1;i--)
			while(now->next[i] != NULL && now->next[i]->data<x) now = now->next[i];
		if(now->next[1] == NULL) return false;
		if(now->next[1]->data != x) return false;
		return true;
	}
	void print()
	{
		node *now = head->next[1];
		while(now != NULL)
		{
			printf("%d ",now->data);
			now = now->next[1];
		}
		printf("\n");
	}
};
int main()
{
	for(int i=1;i<=10;i++)
	{
		std::set<int> S; 
		skiplist<int> L;
		double clk1 = clock();
		for(int i=100000;i>=1;i--)
			L.insert(i);
		double clk2 = clock();
		for(int i=100000;i>=1;i--)
			S.insert(i);
		double clk3 = clock();
		printf("skiplist:%lf,set:%lf\n",clk2-clk1,clk3-clk2);
	}
	return 0;
}

测试结果：

测试中，将跳表与STL的set进行了对比。在插入$10^5$个逆序数据时，跳表与set的运行时间相近，与理论上$logn$的复杂度吻合。