本章主要介绍了多维随机变量及其分布的相关计算。

习题三

28.设$X,Y$是相互独立的随机变量，它们都服从正态分布$N(0,{\sigma }^2)$。试验证随机变量$Z=\sqrt{X^2+Y^2}$的概率密度为$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{z}{{\sigma }^2}{e}^{-z^2/(2{\sigma }^2)},& z⩾0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$我们称$Z$服从参数为$\sigma (\sigma >0)$的瑞利分布。

证 由于$Z=\sqrt{X^2+Y^2}⩾0$，知当$z<0$时，$F_Z(z)=0$。当$z⩾0$时有
$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =p\{Z⩽z\}=P\{\sqrt{X^2+Y^2}⩽z\}\\ & =P\{X^2+Y^2⩽z^2\}=\underset{x^2+y^2⩽z^2}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\underset{x^2+y^2⩽z^2}{\iint }\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{-(x^2+y^2)/(2{\sigma }^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & \\ & \stackrel{\text{用极坐标}}{=}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^z\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{-r^2/(2{\sigma }^2)}\mathrm{d}r\\ & =2\pi \cdot \frac{1}{2\pi }[-e^{-r^2/(2{\sigma }^2)}]{|}_0^z=1-e^{-z^2/(2{\sigma }^2)}.\end{array}$$
将$F_Z(z)$关于$z$求导数，得$Z$的概率密度为$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{z}{{\sigma }^2}{e}^{-z^2/(2{\sigma }^2)},& z⩾0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$
（这道题主要利用了极坐标求解）

34.设$X,Y$是相互独立的随机变量，$X\sim \pi ({\lambda }_1),Y\sim \pi ({\lambda }_2)$。证明$$Z=X+Y\sim \pi ({\lambda }_1+{\lambda }_2).$$

证 因$X\sim \pi ({\lambda }_1),Y\sim \pi ({\lambda }_2)$，故
$$\begin{gathered} p(k)=P\{X=k\}=\frac{{\lambda }_1^k{e}^{-{\lambda }_1}}{k!},k=0,1,2,\cdots , \\ q(k)=P\{X=k\}=\frac{{\lambda }_2^k{e}^{-{\lambda }_2}}{k!},k=0,1,2,\cdots . \end{gathered}$$
而$Z=X+Y$可能取的值为$0,1,2,\cdots ,$，且$X,Y$相互独立。由此可得
$$\begin{array}{rl}P\{Z=i\}& =\sum _{k=0}^i\frac{{\lambda }_1^k{\lambda }_2^{i-k}}{k!(i-k)!}{e}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}\\ & =\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{i!}\sum _{k=0}^i\frac{i!}{k!(i-k)!}{\lambda }_1^k{\lambda }_2^{i-k}\\ & =\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{i!}\sum _{k=0}^i\left(\begin{array}{c}i\\ k\end{array}\right){\lambda }_1^k{\lambda }_2^{i-k}=\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{i!}({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^i\\ & =\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^i{e}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{i!},i=0,1,2,\cdots .\end{array}$$
即$Z\sim \pi ({\lambda }_1+{\lambda }_2)$。（这道题主要利用了二项式的展开求解）

写在最后

如果觉得文章不错就点个赞吧。另外，如果有不同的观点，欢迎留言或私信。
欢迎非商业转载，转载请注明出处。