场论——方向导数与梯度

• 方向导数(标量)：多元函数在某点沿某一方向的变化率，方向定了，大小就定了
• 梯度(矢量)：指示方向导数最大时方向导数方向的矢量，比如某个点$P(x_0,y_0)$的梯度就指示了P点沿哪个方向会取得最大方向导数

注：方向导数在某点方向定了，大小也就定了，但是在这个点上有无数个方向，而取最大值时的方向是由这个点的梯度方向决定的，可以看出方向导数侧重于大小，而梯度侧重于方向

结论：
1.梯度向量 grad $z=(z_x^{\prime },z_y^{\prime })$或者 $z_x^{\prime }\vec{i}+z_y^{\prime }\vec{j}$
2.方向导数$\frac{\partial z}{\partial l}=$ grad $z\cdot$$(cos\alpha ,cos\beta )$,梯度与$l$方向余弦的内积就是方向导数，如果两者恰好正向平行就取得最大值


例
$z=2+a{x}^2+b{y}^2$是一个二元函数，它的全微分为$dz=2axdx+2bydy$

z对x的偏导就是$\frac{\partial z}{\partial x}=2ax$,反映的是z沿着x轴的变化趋势，这个方向为（1,0）

z对y的偏导就是$\frac{\partial z}{\partial y}=2by$,反映的是z沿着y轴的变化趋势，这个方向为（0,1）

那如果沿着一个其他方向的变化，应该怎么表示呢？取一个方向为$l(cos\alpha ,cos\beta )$

由全微分得$\frac{\partial z}{\partial l}$ $=\frac{2ax\partial x}{\partial l}+\frac{2by\partial y}{\partial l}=2axcos\alpha +2bycos\beta$这样我们就计算出了沿$l$的方向导数

如果我们对上式进一步变形 = $(2ax,2by)\cdot (cos\alpha ,cos\beta )$。两个矢量作内积是一个标量，这个标量最大值为$|(2ax,2by)|\cdot |(cos\alpha ,cos\beta )|=|(2ax,2by)|$当且仅当两个矢量正向平行时取得。
并且我们发现方向导数的最大值，恰好就是梯度向量的范数(模)