State Estimation for Robotics_2.1.1_Probability Density Functions: Definitions

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作者：宋洋鹏（youngpan1101）
邮箱： yangpeng_song@163.com

2.1.1 Definitions

$\quad$【《State Estimation for Robotics》英文版链接】【黄山老师的讲解视频】

1. 定义随机变量 $x$，若存在非负函数 $p(x)$，使得对任意实数 $a<b$，有
   

   $$Pr\left \{ a \leq x \leq b \right \} =\int_{a}^{b} p(x)dx \tag{2.1.1-1}$$
   则称 $x$为连续型随机变量，其中 $p(x)$称为 $x$的概率密度函数（probability density function, PDF），简称概率密度或密度函数，而 $Pr\left \{ a \leq x \leq b \right \}$为随机变量 $x$落在区域 $[a,b]$的概率，即 $Pr\left \{ a \leq x \leq b \right \}$为 $p(x)$在给定区域上的积分。

2. 连续型随机变量的概率密度函数 $p(x)$的性质：

   • 非负性： $\forall x \in (-\infty，+\infty) ，p(x)\geq0$
   • 规范性：$\int_{-\infty}^{+\infty} p(x)dx=1$

3. 随机变量 $x$的可取值范围为 $[a,b]$，其条件变量 $y$的可取值范围为 $[r,s]$，则对任意取值的 $y$，$x$在 $[a,b]$发生的概率为
   

   $$\int_{a}^{b} p(x|y)dx=1 \tag{2.1.1-2}$$
   则称 $p(x|y)$为给定 $y$下 $x$的条件密度函数。

4. 对于 $n$维的随机变量，记为 ${\rm x }=(x_{1},...,x_{n})$, 这里的 ${\rm x}$为随机向量，则多元的随机变量的联合密度函数（joint probability densities）为 $p(x_{1},x_{2},...,x_{n})$, 对于 ${\rm x, y}$两个随机向量，则可以写成 $p({\rm x, y})$, 对于多元的随机变量的联合密度函数，有
   

   $$\int_{{\rm a}}^{{\rm b}} p({\rm x })d{\rm x }=\int_{a_{n}}^{b_{n}}...\int_{a_{2}}^{b_{2}}\int_{a_{1}}^{b_{1}}p(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}=1 \tag{2.1.1-3}$$
   式中，${\rm a}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$，${\rm b}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})$。