0 介绍

RSA算法是一个著名的非对称加密算法，作用是对信息进行加密。之所以称之为非对称的，这是相对于对称加密算法来说的。在对称加密算法中，加密与解密所需的密钥是一致的，比如著名的凯撒加密中，信息加密者对每个字母取此字母三位后的字母，如a->d,b->e,接收者收到密文后取每个字母前三位字母即可。而非对称加密中，通信双方各自拥有一个不同的密钥，发送者发送加密后的报文和自己的密钥，接受者收到后用自己的密钥(私钥)和来自发送者的密钥(公钥)将密文解密。也就是说，只要接收者不泄露自己的密钥，那么就没有人可以解密密文。这就是非对称加密的高明之处。RSA是非对称加密算法中最优秀的算法，下面具体讲解一下。

1 简单数学基础

首先介绍两个重要的等式，有兴趣的同学可以证明一下，不会证明也没关系，会用就行。mod表示取模运算。

1. $(amodn{)}^{d}modn=a^{d}modn$
2. 对于任意的$x,y$，有$x^{y}modn=x^{y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}z}modn$,其中$n$表示两个质数$p、q$的积，$n=pq$，而$z=(p-1)(q-1)$.

为什么要介绍这两个等式呢，因为我们通常发送的报文最终可以看作是一个01字符串，我们可以将这个字符串转换成为一个唯一的10进制整数，如1010->10,1111->16，那么这个10进制整数就可以拿来做模运算，实现加密。

2 RSA算法计算

根据前面的数学基础，我们看看计算过程。现在我们手里有一个报文生成的10进制数$m$，然后：

1. 选取两个大质数$p,q$,它的二进制最高位一般要取1024位以上
2. 计算$n=pq,z=(p-1)(q-1)$
3. 选择一个$e$,满足$e<n$,且$e,z$互质(没有公约数)
4. 选择$d$使得$ed-1$可以被z整除($ed-1modz=1$)
5. 我们将$(n,e)$称作公钥$k_B^{+}$，$(n,d)$称为私钥$k_B^{-}$。

发送方加密时，使用公钥，加密结果为$c=(m^{e}modn)$，接受方解密时，收到密文与公钥，首先对$c$取$d$次方，有$c^{d}modn=(m^{e}modn{)}^{d}modn=(m\ast m^{ed-1})modn=m$，这样我们就还原出了$m$.

3 安全性分析

现在分析一下RSA算法的安全性，假如发送方的报文被截获，截获者想要解密，但是又没有密钥，所以打算使用暴力方法试出密钥$(n,d)$。这个问题等价于：在知道$n$的情况下,对$n$进行分解质因数，得到$p,q$。事实上对一个数千位长的大素数进行质数分解几乎是不可能的。知乎一篇文章写道，目前已知破解的最大整数分解为：

1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452151726400507263657518745202199786469389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413
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x
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这个数字有232个十进制位，768个二进制位，目前被破解的最长RSA密钥就是768位。实际应用中 RSA 的密钥长度为 1024 位，重要场合 2048 位，以目前计算机的计算水平来说，要计算个五十年以上，所以RSA的安全性极高。