一 $r(\tau )$的baseline

毫无疑问， $r(\tau )$代表着轨道$\tau$的好坏。按照我们推导出来的policy gradient的式子，$r(\tau )$大于0的时候，训练会使得这个轨道上涉及的所有${\pi }_w\left(a_i\mid s_i\right)$增加。这说明，如果$\tau$是一条比较好的轨道，则我们应该“充分学习成功的经验”，让$\tau$涉及到的每一次决策$(s_i,a_i)$的概率都增大；同理，当$r(\tau )$小于0的时候，训练会使得这个轨道上所有${\pi }_w\left(a_i\mid s_i\right)$概率减少。这是因为$\tau$是一条比较失败的轨道，所以我们应该“避免重蹈覆辙”，让$\tau$涉及的每一次决策$(s_i,a_i)$的概率都减少。从训练的公式上看，我们能够实现上述目的。从直觉上说，上述的目的也是合情合理的。这令我们非常满意。

但是，我们现在要考虑下面的情况：假设我们的MDP所定义的$\tau$都是大于0的，则所有$r(\tau )$都应该是正的，只有大和小的分别，没有正和负的分别。在 $r(\tau )$比较小的时候$\tau$包含着“失败的经验”（例如贪吃蛇游戏中， $r(\tau )$用游戏结束时蛇的长度来表示，那么 $r(\tau )=5$是一个很差的结果）。

现在的问题是：如果我们坚持用$r(\tau )$来训练，就会出现“学习失败经验”的情况，似乎“不合情理”；而如果对$r(\tau )$进行调整，就与我们推导的策略梯度的公式有所偏差，不知会不会出现错误。这个问题应该如何解释呢？

但是，如果我们采样了许多$\tau$，其中的$r(\tau )$有大有小、全部大于0。我们用这些数据训练的效果就完全等同于将较小的$r(\tau )$变成负数，将较大的$r(\tau )$变成小一些的正数。这就好像用$r(\tau )$减去自己的均值再去进行训练一样。

我们的策略梯度是：${\nabla }_{w}J(w)=E_w\left[{\nabla }_w\log \left(P_w(\tau )\right)r(\tau )\right]$
如果改变$r(\tau )$，给他加一个常数：
$$E_w\left[{\nabla }_w\log \left(P_w(\tau )\right)(r(\tau )+b)\right]=E_w\left[{\nabla }_w\log \left(P_w(\tau )\right)r(\tau )\right]+E_w\left[{\nabla }_w\log \left(P_w(\tau )\right)b\right]$$
而$E_w\left[{\nabla }_w\log \left(P_w(\tau )\right)b\right]={\int }_{tau}{\nabla }_w{P}_w(\tau )bd\tau =b{\nabla }_w{\int }_{\tau }{P}_w(\tau )d\tau =0$

所以得到：
$${\nabla }_{w}J(w)=E_w\left[{\nabla }_w\log \left(P_w(\tau )\right)(r(\tau )+b)\right]$$
这启发我们，如果将所有轨道对应的奖励总和$r(\tau )$（即训练时的“权重”）同时增加一个常数$b$ ，其实是不会影响策略梯度的求值的。

从直观上来说，$b$应该取值为$r(\tau )$的均值，这可以使得$r(\tau )-b$的平方和最小。并且这样可以使得“比较好的”轨道$\tau$对应的权重$r(\tau )-b$都是正数，而“比较差的”轨道$\tau$对应的权重$r(\tau )$是负数。但是，这并不意味着估计的均方误差最小。如果经过严格的数学推理，我们会发现其实$b$不是取$r(\tau )$的均值，而是取$r(\tau )$关于对应梯度大小的加权均值时候，估计的均方误差最小。不过在实践中人们发现，将$b$取为$r(\tau )$的均值，虽然不能达到“均方误差最小”，但是计算比较简单，效果也相当不错，而且“赏罚分明”，比较符合人们的直观。所以人们一般就将$b$取为所有$r(\tau )$的均值。这也就是说，在训练时，我们一般先对采样出的所有轨道的$r(\tau )$进行中心化，然后再求其均值以用来估计策略梯度。

二 Experience Replay

policy gradient显然是一个on-policy的算法。换言之，我们必须用当前策略产生的数据，才能训练改善当前的策略。

在DQN中，由于DQN具有off-policy的特性，它可以采用experience replay，将所有训练中产生的$\left(s,a,r,s^{\prime }\right)$数据集都记录下来，放在一个记忆库中。每次训练的时候，都可以从中随机抽取出一个batch来训练。此举有很多好处，例如提高数据的利用率、减少产生数据的成本，打断同一个batch数据集前后关联程度、增加训练集之间独立性等等。如果策略梯度算法必须每一步产生大量数据，而只用来训练一次就丢掉，无疑太过浪费了。所以，我们的问题是，在策略梯度算法中，如何才能正确利用过去的数据呢？

策略梯度公式唯一妨碍我们采用off-policy的地方就只有一个，那就是${\tau }_i$不服从$P_w(\tau )$分布。

化简一下我们的问题，我们想求的是$E_{x\sim p(x)}[f(x)]$ ，但我们只有一组$x\sim q(x)$的样本，我们掌握$f(x)$的计算方法，并且也掌握$p(x)$与$q(x)$的表达式。唯一的问题就是$p(x)$与$q(x)$是不同的概率密度函数。注意如下的公式：
$$E_{x\sim p(x)}[f(x)]={\int }_{x}p(x)f(x)dx={\int }_{x}q(x)\frac{p(x)}{q(x)}f(x)dx=E_{x\sim q(x)}\left[\frac{p(x)}{q(x)}f(x)\right]$$
这也就是说，如果我们对当前这组样本$x$对应的$\frac{p(x)}{q(x)}f(x)$求均值，就可以得到$E_{x\sim p(x)}[f(x)]$的一个无偏估计。

上述的方法被称为“重要性蒙特卡洛方法”。即通过为每个样本增加一个“重要性权重”$\frac{p(x)}{q(x)}$，使得本来服从$q(x)$分布的一组样本可以被“强行改成”服从于$p(x)$分布的样本。这样一来，就可以计算我们手头上没有样本的分布所对应的期望了。以下的图片展示为什么我们可以通过改变样本的“重要性权重”达到改变样本分布的目的。要注意的是，左图中的黑点位置在右图中位置没有移动，只是按照不同权重变成了不同大小的红点，其对应的分布也发生了改变。

所有基于策略的方法都天然地是on-policy的算法。为了将其off-policy的训练，提升性能，我们都需要采取类似于重要性采样的方法。

三 Exploration

在DQN中，exploration可以增加数据集的多样性，使得算法更加鲁棒。主要有两种exploration方法，一种$ϵ-$ greedy，即以$1-ϵ$的概率按照$argmaxQ(s,a)$选择$a$，而以$ϵ$的概率随机选择一个$a$；另一种方式叫做Boltzmann Exploration，即按照$\exp (Q(s,a))$归一化后的概率产生$a$。这两种方法都可以为数据集增加多样性，不过后一种方法的性能要比前者更鲁棒，因为它充分地考虑了所有不同$a$之间的优劣，让$Q(s,a)$更高的$a$更容易被选中。

policy gradient算法和DQN是完全不同的。它不是要估计某个“客观的价值”，而是要直接输出“最佳的策略”。所以，它不会像DQN一样存在“局部收敛”的问题。但是，在迭代中我们要随机采样很多${\tau }_i$ ，求出${\nabla }_w\log P_w\left({\tau }_i\right)r\left({\tau }_i\right)$的平均值，以估计policy gradient $E_w\left({\nabla }_w\log P_w(\tau )r(\tau )\right)$ 。如果我们采样出来的$\tau$不够多样，则估计的policy gradient肯定会不够准确。换句话说，我们希望$P_w(\tau )$的分布更加“平均”一些，这样，通过蒙特卡洛方法对$P_w(\tau )$求期望才会更加准确。从这个角度说，一定程度的explore对于训练策略网络也是很重要的。

策略网络天然就具有explore的方式——它输出的本来就是${\pi }_w(a\mid s)$的概率，我们让Agent按照这个概率分布去随机抽样$a$，做出决策，则得到$\tau$自然是具有多样性的。但是随着训练的进行，某些$(s,a)$的${\pi }_w(a\mid s)$趋于1，这样一来$\tau$的多样性也大大的减少了。归根结底，这是因为我们并没有显式地去定义如何增加$\tau$的多样性，我们应该对多样性进行一个严格的定义，并显式地去增加它。

我们定义熵函数$H(s)={\Sigma }_a{\pi }_{vo}(s,a)\log \left({\pi }_w(s,a)\right)$，表示面对输入状态$s$时，策略网络输出的$a$的概率分布的熵。若$a$的概率分布越均匀，则熵越大。对不同的$s$，策略网络输出的$a$的分布不同，熵函数自然也不同，所以熵函数是一个关于$s$的函数，将其记为$H(s)$。我们定义策略的熵为不同状态下熵的期望值，即：
$$E_w(H(s))={\int }_s{P}_w(s)H(s)ds$$
策略的熵越大，说明它决策中$(s,a)$的丰富度越高，用它决策出来的$\tau$就越多样。

在基本的policy gradient中，我们迭代地让$w$沿着${\nabla }_{w}J(w)$的方向更新，以谋求获得更大的$J(w)$。现在，我们修改一下，让$w$沿着${\nabla }_w\left[J(w)+\alpha E_w(H(s))\right]$的方向更新，意思是我们既要考虑增大总的奖励 $J(w)$，也要同时考虑让策略具有更大的熵、让它决策更具有多样性。这就好像是在说，我们要多为自己的人生保留无限的可能性，不要过早地把自己给限定死了。$\alpha$是一个惩罚系数，表示我们对于“决策多样性”的重视程度。$\alpha$越高，就代表我们越重视多种不同的经验，越会努力去尝试让自己人生丰富多彩。它与机器学习中的正则项系数有一定相似性，相当于超参数。要多调试一下不同的$\alpha$才能找出其最佳的取值。