方程组的直接解法和迭代法 python_数据与算法总结——基本数值算法2（线性方程组）...

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4 基本数值算法

4.2 线性方程组

4.2.1 线性方程组的特性

解的存在性和唯一性

满足下面条件之一，A非奇异，可逆：

如果b属于A的列向量张成的空间，则称方程组是相容的。

范数需要满足次可加性（三角不等式）。

对于n维矢量x，可以定义p范数，p为大于0的整数：

。所以1范数为相加，2范数为平方和开根，
范数为最大的x。

定义矩阵范数：

。

根据相应的向量范数，我们可以得到：1范数为列向量求和最大，2范数为行向量求和最大。

矩阵范数：满足这些性质：

，如果

对于任一标量

，有

对任意矢量x，有

问题的敏感性和病态性

：A的条件数

如果A奇异，则

矩阵的条件数刻画了矩阵对于非零矢量最大的延伸和压缩能力，矩阵的条件数越大，说明矩阵越接近奇异。

矩阵条件数的性质：

对于任意矩阵A，

；对于单位阵I，
；对于任意矩阵A和标量
，有
；对于任意对角阵
，
。

4.2.2 线性方程组的直接解法

主要是两种：高斯消去法和LU分解

高斯消去法主要的计算量消耗在消元过程，时间复杂度为

。

在消去过程中，对角线上的元素会作为除数，如果它很小，就会发生上溢从而严重影响求解精度。于是就有了一个操作叫做：列选主元。讲的是一个矩阵计算到

的时候，从
向下看，找到一个最大的家伙，然后把那一行整个搬过来，把这一行搬过去，于是就很好的控制了上溢的问题。用时间换精度。

然后LU分解在线性代数里面已经学过了，这里就不再说了......

线性方程组解的精度

残差向量：

解为
，定义残差向量：
。有
。

当A为良态时，小的相对残差意味着解的相对误差也小。A如果病态，稳定的算法可以得到小的残差，但解的精度不一定高。

高斯-约当法：把A变成一个对角阵。

乔列斯基分解：如果A是对称正定阵则可以使用。

，L为下三角阵。

4.2.3 线性方程组的迭代解法

迭代求解：直接解法的时间复杂度都是

，迭代运算复杂度不超过
，其中k为迭代步数。

不动点迭代

，定义谱半径
为矩阵M所有特征值的最大值。

如果

，则不动点迭代收敛。

分裂A是实现不动点迭代的基本方法，令

，得到
，得到不动点迭代的形式：

，当
时，收敛

雅可比方法

，D为对角阵，L和U为严格的上三角阵和下三角阵。

，带入迭代式：

。

高斯-赛德方法

，D为对角阵，L和U为严格的上三角阵和下三角阵。

，带入迭代式：

。

高斯-赛德方法能够及时利用更新过的分量参与下一步计算，因此收敛速度要比雅可比大约快一倍，但这两种方法收敛通常很慢。