向量的外积与克罗内克积
外积的定义
外积(outer product)是线性代数中的一类重要运算，对于n维和m维的两个向量，其外积为一个n × m n\times mn×m的矩阵。
给定两个向量u = ( u 1 , u 2 , . . . u m ) \textbf{u}=(u_1, u_2,...u_m)u=(u1,u2,...um)，v = ( v 1 , v 2 , . . . v n ) \textbf{v}=(v_1,v_2,...v_n)v=(v1,v2,...vn)，其外积用u ⊗ v \textbf{u}\otimes \textbf{v}u⊗v表示，定义为由u \textbf{u}u中的每个元素和v \textbf{v}v中的每个元素相乘得到的m × n m\times nm×n阶矩阵A：
或者用索引方式表示为：
( u ⊗ v ) i j = u i v j (\textbf{u}\otimes \textbf{v})_{ij}=\textbf{u}_i\textbf{v}_j(u⊗v)ij=uivj
当u \textbf{u}u和v \textbf{v}v以列向量形式表示时，外积等价于按矩阵乘法计算的u v T \textbf{u}\textbf{v}^TuvT的结果，例如，当m=4, n=3时，有：
与内积不同的地方在于，内积是通过u T v \textbf{u}^T\textbf{v}uTv计算得来，其结果为一个标量，不难发现，内积是外积的迹(trace).
克罗内克积
外积与克罗内克积是紧密相关的，其运算符也经常混用，例如，
当u = [ 1 , 2 , 3 ] T \textbf{u}=[1,2,3]^Tu=[1,2,3]T, v = [ 4 , 5 ] T \textbf{v}=[4,5]^Tv=[4,5]T时，两种运算结果分别为：
 |  |
实际上，当u \textbf{u}u和v \textbf{v}v为列向量时，克罗内克积可以看作外积向量化(vectorization)的结果，即：
由于向量化的定义为将矩阵的每列逐次向下堆叠排布，上式右端写为v \textbf{v}v和u \textbf{u}u的外积。这一关系还可以表示为：
外积的性质
向量的外积满足以下性质：
