1. 必需条件

该问题以一质点在时间区间$t\in \left[t_0,t_k\right]$内的运动为背景进行研究。因此，逐次给出以下条件：

1. 时间区间
   $$t\in \left[t_0,t_k\right]$$
2. 边界条件
   $$Start=\{\begin{array}{ll}x(t_0)& =x_{10}\\ \dot{x}(t_0)& =x_{20}\\ ⋮& \\ x^{(n-1)}(t_0)& =x_{n0}\end{array}$$$$End=\{\begin{array}{ll}x(t_k)& =x_{1k}\\ \dot{x}(t_k)& =x_{2k}\\ ⋮& \\ x^{(n-1)}(t_k)& =x_{nk}\end{array}$$共$2n$个边界条件。
3. 拉格朗日型性能指标
   $$J={\int }_{t_0}^{t_k}F\left(t,x,\dot{x},\cdots ,x^{(n)}\right)dt\to extr.$$其中$F$中共$(n-1)$个导数，算上$x$本身，共$n$个与$x$相关的项。

2. 计算过程

在这个问题中，$J$极值存在的必要条件不再采用欧拉公式，而是采用欧拉 – 泊松公式：
$$F_x-\frac{d}{dt}{F}_{\dot{x}}+\frac{d^2}{d{t}^2}{F}_{\ddot{x}}-\cdots +(-1{)}^n\frac{d^n}{d{t}^n}{F}_{x^{(n)}}=0$$应当注意：欧拉 – 泊松公式只是$J$极值存在的必要条件，但不是充分条件。
$J$极值存在的充分条件称为勒让德条件：
$$F_{x^{(n)}{x}^{(n)}}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^{(n)}{x}^{(n)}}$$并有：
$$\{\begin{array}{l}若F_{x^{(n)}{x}^{(n)}}>0,则J\to min\\ 若F_{x^{(n)}{x}^{(n)}}<0,则J\to max\end{array}$$

3. 例题

$\square$给出一系列条件：

1. $t\in \left[0,1\right]$；
2. 边界条件：
   $$Start=\{\begin{array}{l}x(0)=0\\ \dot{x}(0)=0\end{array}$$$$End=\{\begin{array}{l}x(1)=1\\ \dot{x}(1)=0\end{array}$$
3. 性能指标：
   $$J={\int }_0^1{\ddot{x}}^{2}dt\to extr.$$

下面给出求解过程。

解：
由性能指标得知，
$$F={\ddot{x}}^2$$则
$$F_{\ddot{x}}=2\ddot{x},F_{\ddot{x}\ddot{x}}=2>0$$根据勒让德条件知$J$有最小值。

又：
$$\begin{array}{rl}{F}_x& =0\\ F_{\dot{x}}& =0\\ F_{\ddot{x}}& =2\ddot{x}\end{array}$$则根据欧拉 – 泊松公式
$$\begin{gathered} F_x-\frac{d}{dt}{F}_{\dot{x}}+\frac{d^2}{d{t}^2}{F}_{\ddot{x}}-\cdots +(-1{)}^n\frac{d^n}{d{t}^n}{F}_{x^{(n)}}=0 \\ ⟹0-0+(2\ddot{x}{)}^{\prime \prime }=0 \\ ⟹x^{(3)}=C_1 \\ ⟹\ddot{x}=C_{1}t+C_2 \\ ⟹\dot{x}=\frac{1}{2}{C}_1{t}^2+C_{2}t+C_3 \\ ⟹x=\frac{1}{6}{C}_1{t}^3+\frac{1}{2}{C}_2{t}^2+C_{3}t+C_4 \end{gathered}$$代入$x(0)=0,x(1)=1,\dot{x}(0)=0,\dot{x}(1)=0$有：
$$C_1=-12,C_2=6,C_3=C_4=0$$则得到最优的$x$满足：
$$x^{\circ }(t)=-2t^3+3t^2$$此时性能指标也达到最优：
$$J^{\circ }={\int }_0^1{\ddot{x}}^{\circ }dt=12.\square$$