算法-查找 & 排序

------------------------------ 二分查找 ------------------------------
LeetCode：704. 二分查找
- 相关题目
------------------------------ 哈希查找 ------------------------------
LeetCode：1. 两数之和
- 解法一：一遍哈希表
- 解法二：两遍哈希表
剑指 Offer 03. 数组中重复的数字
------------------------------ LRU & LFU ------------------------------
LeetCode: 460. LFU缓存
LeetCode: 146. LRU缓存机制
------------------------------ 快速排序 ------------------------------
------------------------------ 归并排序 ------------------------------
------------------------------ 冒泡排序 ------------------------------
LeetCode 912. 排序数组
- 解法一：快速排序
- 解法二：冒泡排序

------------------------------ 二分查找 ------------------------------

二分查找的八种写法必须掌握！！！

0. 二分查找框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。

其中…标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。

另外声明一下，计算 mid 时需要防止溢出，代码中left + (right - left) / 2就和(left + right) / 2的结果相同，但是有效防止了left和right太大直接相加导致溢出。

1. 基础二分搜索-查找一个数字

这个场景是最简单的，可能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

/**
 * 普通二分查找 <= && return -1;
 */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        
        if(nums[mid] == target) return mid; 
        else if (nums[mid] < target) left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target) right = mid - 1; // 注意
    }
    
    return -1;
}

// 基础二分查找及其变形
// 有界减1中加除2, 小于等于渐进-1
// 小于等于变小于, 左界比较再返-1

1. 为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？

因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

“<=” 和 “<” 可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都为闭区间[left, right]，后者相当于左闭右开区间[left, right)。我们这个算法中使用的是前者[left, right]两端都闭的区间，这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

if(nums[mid] == target) return mid;

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

while(left <= right)的终止条件是left == right + 1，写成区间的形式就是[right + 1, right]，或者带个具体的数字进去[3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

while(left < right)的终止条件是left == right，写成区间的形式就是[left, right]，或者带个具体的数字进去[2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说区间[2, 2]被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。当然，如果你非要用while(left < right)也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

//...
while(left < right) {
    // ...
}
// 搜索最后一个区间，判断并返回
return nums[left] == target ? left : -1;

改写为完整的二分查找时函数如下：

/**
 * 普通二分查找 < && return -1;
 */
public int search(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        
        if(nums[mid] == target) return mid; 
        else if (nums[mid] < target) left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target) right = mid - 1; // 注意
    }
    return nums[left] == target ? left : -1;
}

2. 为什么left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是right = mid或者left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即[left, right]。那么当我们发现索引mid不是要找的target时，下一步应该去搜索哪里呢？当然是去搜索[left, mid-1]或者[mid+1, right]对不对？因为mid已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

3. 此算法有什么缺陷？

至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组nums = [1,2,2,2,3]，target为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到target的左侧边界，即索引 1，或者我想得到target的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找"对数级"的复杂度了。

我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

2. 寻找左侧边界的二分查找

以下是最常见的代码形式，其中的标记是需要注意的细节：

/**
 * 搜索左边界的二分查找 < && 返回指定值索引或小于等于指定值的个数
 */
public int search(int[] nums, int target) {
	int left = 0;
	int right = nums.length; // 注意

	while (left < right) { // 注意
		int mid = (left + right) / 2;
		if (nums[mid] == target) {
			right = mid;
		} else if (nums[mid] < target) {
			left = mid + 1;
		} else if (nums[mid] > target) {
			right = mid; // 注意
		}
	}
	return left;
}

// 左界二分查找及其变形
// 右界到底中除2, 小于中分再返做

1. 为什么 while 中是<而不是<=?

用相同的方法分析，因为right = nums.length而不是nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是[left, right)左闭右开。

while(left < right)终止的条件是left == right，此时搜索区间[left, left)为空，所以可以正确终止。

PS：这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：刚才的right不是nums.length - 1吗，为啥这里非要写成nums.length使得「搜索区间」变成左闭右开呢？因为对于搜索左右侧边界的二分查找，这种写法比较普遍，我就拿这种写法举例了，保证你以后看到这类代码可以理解。其实你非要用两端都闭的写法反而更简单，我会在后面写相关的代码，把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来，你耐心往后看就行了。

2. 为什么没有返回 -1 的操作？如果nums中不存在target这个值，怎么办？

因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：
在这里插入图片描述
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums中小于 2 的元素有 1 个。
比如对于有序数组nums = [2,3,5,7],target = 1，算法会返回 0，含义是：nums中小于 1 的元素有 0 个。
再比如说nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums中小于 8 的元素有 4 个。

综上可以看出，函数的返回值（即left变量的值）取值区间是闭区间[0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

while (left < right) {
    //...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;

改造完成后函数如下：

public int search(int[] nums, int target) {
	int left = 0;
	int right = nums.length; // 注意

	while (left < right) { // 注意
		int mid = (left + right) / 2;
		if (nums[mid] == target) {
			right = mid;
		} else if (nums[mid] < target) {
			left = mid + 1;
		} else if (nums[mid] > target) {
			right = mid; // 注意
		}
	}
	
	if (left == nums.length) return -1;
	return nums[left] == target ? left : -1;
}

3. 为什么left = mid + 1，right = mid？和之前的算法不一样？

这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是[left, right)左闭右开，所以当nums[mid]被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉mid分割成两个区间，即[left, mid)或[mid + 1, right)。

4. 为什么该算法能够搜索左侧边界？

关键在于对于nums[mid] == target这种情况的处理：

if (nums[mid] == target) right = mid;

5. 为什么返回left而不是right？

都是一样的，因为 while 终止的条件是left == right。

6. 能不能想办法把right变成nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

答：当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素，随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改：

因为你非要让搜索区间两端都闭，所以right应该初始化为nums.length - 1，while 的终止条件应该是left == right + 1，也就是其中应该用<=：

int left_bound(int[] nums, int target) {
    // 搜索区间为 [left, right]
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        // if else ...
    }
}

因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以left和right的更新逻辑如下：

if (nums[mid] < target) {
    // 搜索区间变为 [mid+1, right]
    left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
    // 搜索区间变为 [left, mid-1]
    right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
    // 收缩右侧边界
    right = mid - 1;
}

由于 while 的退出条件是left == right + 1，所以当target比nums中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：
在这里插入图片描述
因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：

if (left >= nums.length || nums[left] != target) return -1;
return left;

至此，整个算法就写完了，完整代码如下：

public int search(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    // 搜索区间为 [left, right]
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            // 搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            // 搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 收缩右侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 判断左指针是否越界
    if (left >= nums.length || nums[left] != target) return -1;
    
    return left;
}

这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是left变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。

3. 寻找右侧边界的二分查找

类似寻找左侧边界的算法，这里也会提供两种写法，还是先写常见的左闭右开的写法，只有两处和搜索左侧边界不同，已标注：

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;

    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意
}

3.1 为什么这个算法能够找到右侧边界？

类似地，关键点还是这里：

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;
}

当nums[mid] == target时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。

3.2 为什么最后返回left - 1而不像左侧边界的函数，返回left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回right才对。

首先，while 循环的终止条件是left == right，所以left和right是一样的，你非要体现右侧边界的特点，返回 right - 1 好了。

至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;
    // 这样想: mid = left - 1
}

在这里插入图片描述
因为我们对left的更新必须是left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left]一定不等于target了，而nums[left-1]可能是target。至于为什么left的更新必须是left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。

3.3 为什么没有返回 -1 的操作？如果nums中不存在target这个值，怎么办？

答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是left == right，就是说left的取值范围是[0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：

while (left < right) {
    // ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

完整的右侧边界搜索函数如下：

public int search(int[] nums, int target) {
	if (nums.length == 0) return -1;
	
	int left = 0;
	int right = nums.length;
	
	while (left < right) {
		int mid = (left + right) / 2;
		
		if (nums[mid] == target) left = mid + 1;
		else if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
		else if (nums[mid] > target) right = mid;
	}
	
	if (left == 0) return -1;

	return nums[left - 1] == target ? left - 1 : -1;
}

3.4 是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。

答：当然可以，类似搜索左侧边界的统一写法，其实只要改两个地方就行了：

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

当target比所有元素都小时，right会被减到 -1，所以需要在最后防止越界：
在这里插入图片描述
至此，搜索右侧边界的二分查找的两种写法也完成了，其实将「搜索区间」统一成两端都闭反而更容易记忆，你说是吧？

4. 逻辑统一

来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：

第一个，最基本的二分查找算法：

因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1

因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

第二个，寻找左侧边界的二分查找：

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

第三个，寻找右侧边界的二分查找：

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一

如果以上内容你都能理解，那么恭喜你，二分查找算法的细节不过如此。

通过本文，你学会了：
1、分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。
2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。
3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界，只要在nums[mid] == target时做修改即可，搜索右侧时需要减一。
4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭，好记，只要稍改nums[mid] == target条件处的代码和返回的逻辑即可，推荐拿小本本记下，作为二分搜索模板。

二分查找-小于记忆口诀（左界小于、右界小于、左界小于越界、右界小于越界）：
二分小于看边界，右界到底中二除。
左界查找右逼近，右界查找左逼近。
小于右界须取中，等于右界须减一。
若取边界则返回，不取边界看越界。
左无越界再返回，有无越界再返回。
返回还需分左右，左界原值右减一。

二分查找-小于等于记忆口诀（包括普通小于等于、左界小于等于及其越界、右界小于等于及其越界）：
小于等于看边界，右界减1中加除2。
普通查找用渐进，边界查找分左右。
左界查找右逼近，右界查找左逼近。
左无越界再返回，右无越界再返回。

5. 参考资料

我作了首诗，保你闭着眼睛也能写对二分查找

LeetCode：704. 二分查找

------------------------------ 哈希查找 ------------------------------

LeetCode：1. 两数之和

解法一：一遍哈希表

记忆口诀：遍历数组取减值，数组Map互颠倒

遍历数组nums，将数组中的各个元素放入map(以数组值nums[i]为map的key，以数组下标i为map的value)；
在向map中添加元素之前，先检查map中是否包含(target-nums[i])的值；
若包含(target-nums[i])的值，说明查找到对应的两个数，返回其下标；
若未包含(target-nums[i])的值，则将数组对应元素nums[i]放入map中；
若遍历完数组，map中都不含对应两个元素，说明数组中不存在这样的两个元素，返回为空；

时间复杂度：O(n)
遍历包含n个元素的数组，所以时间复杂度为O(n)；map中的查找由于是hash的过程，所以查找时间复杂度为O(1)
空间复杂度：O(n)
创建了大小为n的map，所以空间复杂度为O(n)

Golang: one-hash

解法二：两遍哈希表

遍历数组nums，将数组中的各个元素放入map(以数组值nums[i]为key，以数组下标为value)；
遍历数组nums，以数组nums为基准，判定(target-nums[i])的值是否包含在map中；
若(target-nums[i])的值包含在map中，则说明数组中包含对应的两个元素，返回其下标；
若遍历完数组nums，都不包含对应的两个元素，则返回为空；

时间复杂度：O(n)
时间复杂度主要消耗在数组的遍历过程，数组长度为n，所以遍历数组的时间复杂度为O(n)；
空间复杂度：O(n)
空间复杂度主要消耗在map中，map的长度为数组的长度，所以空间复杂度为O(n)；

Golang: two-hash

剑指 Offer 03. 数组中重复的数字

------------------------------ LRU & LFU ------------------------------

LeetCode: 460. LFU缓存

LFU算法的定义

LFU: Least Frequently Used, 最近最少使用算法。它是基于“如果一个数据在最近一段时间内使用次数很少，那么在将来一段时间内被使用的可能性也很小”的思路。
注意LRU和LFU算法的不同之处，LRU的淘汰规则是基于访问时间，而LFU是基于访问次数，举个简单的例子：

假设缓存大小为3，数据访问序列为set(2,2),set(1,1),get(2),get(1),get(2),set(3,3),set(4,4)，
则在set(4,4)时对于LFU算法应该淘汰(3,3)，而LRU应该淘汰(1,1)。

那么LFU Cache应该支持的操作为：

get(key)：如果Cache中存在该key，则返回对应的value值；否则，返回-1；
set(key,value)：如果Cache中存在该key，则重置value值；如果不存在该key，则将该key插入到到Cache中；若Cache已满，则淘汰最少访问的数据；若最少访问的数据有多个，则淘汰访问时间最久的数据；

关于LFU算法更详细的定义，可参考如下文档：
缓存算法（页面置换算法）-FIFO、LFU、LRU
FIFO/LRU/LFU三种缓存算法
 LFU

LFU算法的实现

关于LFU算法更多的实现策略，可参考如下文档：
LFU缓存
 FIFO/LRU/LFU三种缓存算法

方法一：使用LinkedHashSet实现LFUCache

为了能够淘汰最少使用的数据，因此LFU算法最简单的一种设计思路就是利用一个数组存储数据项，用hashmap存储每个数据项在数组中对应的位置，然后为每个数据项设计一个访问频次，当数据项被命中时，访问频次自增，在淘汰的时候淘汰访问频次最少的数据。这样一来的话，在插入数据和访问数据的时候都能达到O(1)的时间复杂度，在淘汰数据的时候，通过选择算法得到应该淘汰的数据项在数组中的索引，并将该索引位置的内容替换为新来的数据内容即可，这样的话，淘汰数据的操作时间复杂度为O(n)。

方法二：使用LinkedHashMap实现LFUCache

方法三：最佳复杂度

LeetCode: 146. LRU缓存机制

LRU算法的定义

LRU：Least Recently Used)，最近最久使用算法。在向缓存中添加数据时，若缓存已满，则选择最近最少使用的数据淘汰，并添加新数据到该位置；
此处以内存访问为例说明缓存的工作原理: 对于大小固定的缓存，初始状态为空；
每发生一次读取操作，便从缓存中查找是否包含对应的数据；若缓存中包含对应的数据，则缓存命中并返回；否则缓存未命中，则从内存中读取数据，然后将该数据添加到缓存中，并返回该数据；
在向缓存中添加数据时，若缓存未满，则直接按照hash算法添加该数据；若缓存已满，则从缓存中找出访问时间最长的那条数据并删除，然后添加新数据到该位置

LRU算法的实现

LRU算法的难点在于: 在O(1)的时间复杂度内，实现对缓存的读写操作。
对于读操作，可以使用HashMap达到O(1)时间复杂度的性能要求
对于写操作，可以使用HashMap+双向链表达到O(1)时间复杂度的性能要求，因此可以使用HashMap+双向链表来实现LRU Cache；同时Java API中LinkedHashMap采用HashMap+双向链表的方式实现，因此也可以使用LinkedHashMap来实现LRU Cache。
所以，对于LRU算法的实现方式，可以总结如下:

HashMap + 双向链表
LinkedHashMap = HashMap + 双向链表

1. HashMap + 双向链表实现LRUCache

Java

相关要点

读缓存时从HashMap中查找key，再根据key查找对应数据节点；更新缓存时同时更新HashMap和双向链表，双向链表始终按照访问时间的先后顺序排列，访问时间越早的数据节点排在双向链表的越前面
双向链表的头结点指向访问时间较早的数据节点，双向链表的尾节点指向访问时间较晚的数据节点
读缓存时，若缓存命中，则将命中的数据节点移动到双向链表的尾部，然后返回该数据节点的值；否则返回-1；
写缓存且缓存命中时，更新缓存值，并将该数据节点移动到双向链表的尾部
写缓存且缓存未命中时，若缓存已满，则删除双向链表头部的数据节点(最近最少使用)，然后将新添加的数据节点插入到双向链表的尾部
写缓存且缓存未命中时，若缓存未满，则直接将新插入的数据节点添加到双向链表的尾部

参考代码: LRUCache_HashMap_LinkList.java

Go

相关要点

读缓存时从HashMap中查找key，再根据key查找对应数据节点；更新缓存时同时更新HashMap和双向链表；双向链表始终按照访问时间的先后顺序排列，访问时间越晚的数据节点排在双向链表的越前面
链表头部存放访问时间最晚的数据节点，链表尾部存放访问时间最早的数据节点
读缓存，若缓存命中, 则将命中元素移动到链表头部, 并返回该元素; 否则返回-1
写缓存，若缓存命中, 则更新链表头部元素
写缓存，若缓存未命中且缓存已满, 则发生LRU替换, 删除最近最久未被访问元素(链表尾部)，然后添加数据节点到链表头部
写缓存，若缓存未命中且缓存未满，则直接插入新数据节点到链表头部

参考代码: lru-cache.go

2. LinkedHashMap实现LRUCache

参考代码: LRUCache_LinkedHashMap.java

LRU算法的应用

Redis中缓存淘汰策略

面试相关

Go相关面试题

实现一个固定大小的元素为string的LRU队列

参考文档

LRU缓存算法
 如何设计实现一个LRU Cache？
[LeetCode]146.LRU缓存机制

------------------------------ 快速排序 ------------------------------

记忆口诀：
快排也需看边界，右界减一中二除。
左右指针逼近中，左右也要用快排。
指针相遇要调整，交换之后再逼近。

------------------------------ 归并排序 ------------------------------

算法思想

归并排序利用分治思想和二分思想，在数据的分割上利用二分思想，在数据的合并及排序上利用分治思想
归并排序基于分治思想，将多个已排好序的数组合并成一个有序的数组．

归并排序的分类

二路归并排序

具体做法为：遍历两个数组，比较它们的值。谁比较小，谁先放入大数组中，直到数组遍历完成

多路归并排序

算法复杂度

平均时间复杂度：O(nlogn)

参考代码

Java参考代码: MergeSort.java
Go参考代码: merge_sort_test.go

参考文档

归并排序就这么简单
 归并排序及优化(Java实现)
Go数据结构与算法-归并排序

------------------------------ 冒泡排序 ------------------------------

记忆口诀：双层比较并交换，内层-i-1外层-1

public static void bubbleSort(int[] arrays) {
    int temp;

    //外层循环是排序的趟数
    for (int i = 0; i < arrays.length - 1 ; i++) {
        //内层循环是当前趟数需要比较的次数
        for (int j = 0; j < arrays.length - i - 1; j++) {

            //前一位与后一位比较，如果前一位比后一位要大，那么交换
            if (arrays[j] > arrays[j + 1]) {
                temp = arrays[j];
                arrays[j] = arrays[j + 1];
                arrays[j + 1] = temp;
            }
        }
    }
}

冒泡排序就这么简单
 如何理解算法时间复杂度的表示法，例如 O(n²)、O(n)、O(1)、O(nlogn) 等？
（数据结构）十分钟搞定时间复杂度（算法的时间复杂度）

LeetCode 912. 排序数组

解法一：快速排序

解法二：冒泡排序

原文链接：https://blog.csdn.net/CSDN_FlyYoung/article/details/103260180

算法-查找 & 排序

------------------------------ 二分查找 ------------------------------

0. 二分查找框架

1. 基础二分搜索-查找一个数字

1. 为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？

2. 为什么left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是right = mid或者left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

3. 此算法有什么缺陷？

2. 寻找左侧边界的二分查找

1. 为什么 while 中是<而不是<=?

2. 为什么没有返回 -1 的操作？如果nums中不存在target这个值，怎么办？

3. 为什么left = mid + 1，right = mid？和之前的算法不一样？

4. 为什么该算法能够搜索左侧边界？

5. 为什么返回left而不是right？

6. 能不能想办法把right变成nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

3. 寻找右侧边界的二分查找

3.1 为什么这个算法能够找到右侧边界？

3.2 为什么最后返回left - 1而不像左侧边界的函数，返回left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回right才对。

3.3 为什么没有返回 -1 的操作？如果nums中不存在target这个值，怎么办？

3.4 是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。

4. 逻辑统一

5. 参考资料

LeetCode：704. 二分查找

相关题目

------------------------------ 哈希查找 ------------------------------

LeetCode：1. 两数之和

解法一：一遍哈希表

解法二：两遍哈希表

剑指 Offer 03. 数组中重复的数字

------------------------------ LRU & LFU ------------------------------

LeetCode: 460. LFU缓存

LFU算法的定义

LFU算法的实现

方法一：使用LinkedHashSet实现LFUCache

方法二：使用LinkedHashMap实现LFUCache

方法三：最佳复杂度

LeetCode: 146. LRU缓存机制

LRU算法的定义

LRU算法的实现

1. HashMap + 双向链表实现LRUCache

Java

Go

2. LinkedHashMap实现LRUCache

LRU算法的应用

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归并排序的分类

二路归并排序

多路归并排序

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