第六章——二重积分

9.1 二重积分的概念和性质

9.1.1 二重积分的概念

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定积分二重积分
区间内一点函数值乘小区间长度区域内一点函数值乘小区域面积
定积分是一个和式的极限二重积分是一个和式的极限
用定积分定义求和式的极限会考用二重积分定义求和式极限不会考

【几何意义】
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9.1.2 二重积分的性质

【性质一（不等式性质）】

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当 f ( x , y ) f(x,y)f(x,y) 于 D DD 内连续时，取闭区间；否则为开区间

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【性质二（中值定理）】
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定积分那里是两条中值定理，这里只有一条，因为不常用

9.2 二重积分的计算

思想：把二重积分的计算归结为定积分的计算

9.2.1 利用直角坐标计算

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9.2.2 利用极坐标计算

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2）也有先 θ \thetaθ 后 ρ \rhoρ的情况 ，但考频不高

一个二重积分主要和两个地方有关：①被积函数，②积分域
至于是选择直角坐标还是极坐标来解二重积分，是根据被积函数和积分域这两个部分来决定

【注】适合用极坐标计算的二重积分的特征

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【对于圆心既不在原点，也不在坐标轴上】
同样用极坐标，不过需要平移
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【例】

在平移后，不一定需要用到极坐标，但可能会结合极坐标

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9.2.3 利用函数的对称性和奇偶性计算

【定积分】

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区间关于y轴对称，函数具有奇偶性

【二重积分】

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要求积分域有对称性，函数有奇偶性；
另外需要注意配套，即
区域关于y轴对称，函数要求x具有奇偶性
区域关于x轴对称，函数要求y具有奇偶性

9.2.4 利用变量的轮换对称性计算

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【例】

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【例】

9.3 常考题型与典型例题

题型一 累次积分交换次序或计算

  • 直角坐标下的累次积分交换次序
  • 直角坐标下的累次积分化为极坐标下的累次积分
  • 极坐标下的累次积分化为直角坐标下的累次积分
  • 极坐标下的累次积分交换次序

【真】极坐标形式下的累次积分化为直角坐标下的累次积分

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【例】

本题所给次序不好算，交换次序仍不好算，故尝试交换坐标系；此外，由被积函数的形式可知，适用于极坐标系
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题型二 二重积分计算

先画域，就画在答题卷上，有分

【例】

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【真】

只有在计算线、面积分时，才能把边界方程代入被积函数；而在计算重积分时，不可
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【真】

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【真】

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【真】

本题不适合用极坐标计算，用直角坐标，且先y后x
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【真】

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【真】被积函数出现绝对值

分区域去掉绝对值
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* 题型三 二重积分的不等式问题

考察积分不等式的性质

【真】同被积函数不同全区域比大小

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【真】同区域不同被积函数比大小

实质为被积函数的大小比较
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T

利用定义判断驻点是否为函数的极值点

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