本文是 21Dianyuan 社区原创技术文章，作者 LLC 谐振，感谢作者的辛苦付出。
直流增益公式推导
直流 LLC 谐振电源，其实也相当于 buck-boost 电源。要想弄明白和推导理论公式，首先温习一下傅里叶级数和 RLC 串联谐振知识。
傅里叶级数怎么推导的呢？详细的推导过程学习课件我已上传至论坛，大家可以去论坛自行下载学习。这里直接入手 LLC 变换器理论推导，本文主要谈谈不对称半桥结构，次级输出采用全波整流。LLC 其实也是 DC-DC 变换器，输出侧电压为方波，电流为正弦波。设计时根据客户需求计算出额定负载时直流电阻 Ro，再用基波分析法计算出次级交流输出电阻，然后换算至变压器初级得出等效模型，先推导直流增益和阻性曲线方程。
输入阻抗公式推导
上述已经详细推导了谐振腔的直流增益方程，为研究输入阻抗和直流增益之间的联系，下面对输入阻抗方程进行推导，用 MathCAD 画出阻抗曲线，与直流增益曲线对照研究 LLC 谐振拓扑结构。根据输入阻抗公式，当虚部为零时呈阻性，化简出 Q 表达式，将 Q 表达式带入直流增益方程，可在直流增益图中画出阻性曲线。
谐振参数计算方法
下面介绍一下参数的计算方法。该计算是本人前段时间整理总结，如有错误地方欢迎大家提出指正。LLC 谐振参数是变换器设计的关键，计算方法不止一种，由于每个人的理解和计算思路不同可能稍有区别。如想要完全吃透必须对照各时段工作波形和理论公式对比分析，就必须亲手推导谐振电感、谐振电容、励磁电感、器件振电压、谐振电流等变量计算公式。
▶ 直流 LLC 电源 1KW 参数计算书：
2.2 傅里叶级数分析
傅里叶级数被广泛的应用于信号处理、组合数学、密码学等领域，信号处理领域我们常见到傅里叶变换，复杂的公式让我们不知所措。傅里叶级数公式如下：
方波傅里叶级数如下，方波如图2-5所示。
▶ 方波函数
▶ 傅里叶级数求解
即：
▶ 故傅里叶级数展开式：
式中 k，n 分别取1，2，3…..
▶ 积化和差公式
▶ 傅里叶级数表示为：
第三节 LLC 谐振变换器主电路拓扑分析及公式推导
3.1 基波近似等效法(Fundamental Harmonic Approximation)对半桥 LLC 谐振变换器进行稳态分析，主电路拓扑如3-1所示。
▶ 假设如下：
(1)功率管为理想元件，寄生参数不影响谐振；
(2)谐振电路的电感、变压器、电容等均为理想元件；
(3)忽略电路中的高次谐波，只有基波传输能量；
(4)输出滤波电容值足够大，输出电压无纹波。
图3-1中开关电路将输入的直流信号转换为方波信号，谐振电路可以滤除高次谐波。谐振回路施加的为方波电压，但只有正弦电流流过谐振电路，由于谐振的作用，谐振电路中电流相位滞后于电压相位一定角度，该条件为高压侧功率管零电压(ZVS)开通创造条件。变压器初级输入电压为方波信号、电流为正弦波信号，假设方波信号的能量主要由基波分量传输，利用基波近似等效法(FHA) 推导负载阻抗表达式。简化电路如图3-2所示。
01
开关电路
开关电路将直流电压转换为高频方波，桥臂中点处电压值为 Ui 或0。利用傅里叶级数将方波电压展开：
▶ 即方波的基波分量：
02
谐振电路
谐振电路滤除高次谐波，谐振腔中电流为正弦波，且电压相位超前电流相位一定的角度，为零电压(ZVS)开通做准备。
03
整流滤波
变压器低压侧输出电压为方波、电流为正弦波，其电压幅值为 ±Vo。波形如图3-3所示。
假设负载为阻性，低压侧电流和电压波形相位一致，即 φ=0。电压的傅里叶展开式为：
电流为正弦波，波形如图3-4所示，其表达式：
经过上述推导，主电路等效模型如图3-5所示：
▶ 直流增益推导过程如下：
▶ 方法一：
▶ 输入阻抗推导过程如下：
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