第五章控制系统的稳定性分析

控制系统实用的首要条件是系统必须稳定。本章介绍稳定性的基本概念、稳定性判据、系统的相对稳定性。

§1.控制系统稳定性的基本概念

一．稳定性的定义：

系统在一定的干扰作用下，偏离了稳定的平衡状态，在干扰消除后，能以足够的精度逐渐恢复到原来的状态的能力。它是系统固有的特性，与初始条件及输入无关。

稳定性的严密数学定义是由俄国的李雅普诺夫首先建立的，对于临界稳定性是作为稳定来处理的，但实际工程上则认为是不稳定的。

二．判别线性系统稳定性的基本准则

系统的传递函数一般形式为：

输入脉冲信号（相当于干扰信号作用）时，如系统的稳态值为0则系统稳定，否则稳态值为无穷大或振荡时则系统不稳定。

可见要满足：，只有s_i(i=1,2,…,n)的实部应全部为负的。即特征方程的所有根必须全部具有负实部。或者说系统的传递函数的极点全部位于s复平面的左半部。

如有实部为零的根，则出现临界稳定状态（振荡），如有零根存在，则出现常数项，相当于系统偏离了平衡状态，所以工程上也认为系统不稳定。

由上所述，可得稳定性判别的基本准则：

系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的根全部在s复平面的左半平面。如果有根在右半平面，系统不稳定，如果有根在虚轴上，系统处于临界稳定状态（振荡），如果有根在原点上，系统偏离平衡点，也不稳定。

由于直接求解高阶方程的根过于复杂，因此有了下列求解方程的稳定判据方法。

§2.控制系统的稳定判据

一．代数稳定判据

不必求解系统的特征方程，通过对特征方程的系数进行分析来判断系统的稳定性的方法。

对于特征方程：通过因式分解，总可以分解为一次因子和二次因子的乘积的形式，即：(s+a)和(s²+bs+c)相乘的形式。只有a、b、c都是非零的正值时，才能得到负实根或具有负实部的共轭复根。所以a_i<0是判定系统稳定的必要条件，但非充分条件。罗斯-赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充分条件。

罗斯稳定判据适用于四阶以上的高阶系统，而赫尔维茨稳定判据则对于低阶系统较为方便。

1． 罗斯（Routh）稳定判据：

1) 求罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数，结果不变。

式中：，，……

直至其余的b为零。同样的:

，……

，……

2) 第一列各数的符号全为正，则说明无正实部的根，系统稳定。否则系统不稳定，第一列各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。

3) 第一列出现零的情况时，用一个小的正数ε代替０进行计算后，再令ε→０求极限来判别第一列系数的符号。实际上在无符号变化是表示有一对虚根存在，有符号变化时则同上。

4) 如出现一行全零时，此时存在一些对称（大小相等，符号相反）的根（包括实根和共轭复根，系统处于临界稳定状态）。则用上一行的系数组成一个辅助方程，对方程求导后得到的系数代替原为零的各项，再继续。解辅助方程得的根即为特征方程的根。

2． 赫尔维茨（Hurwitz）稳定判据：

1) 列赫尔维茨行列式：

2) 主行列式及其主对角线上的各子行列式均大于零时，则方程无正根，系统稳定。

……

二．几何稳定判据

罗斯-赫尔维茨判据较难判别系统稳定的程度及各参数对稳定性的影响。几何判据是根据闭环系统的开环传递函数的奈氏图或伯德图来判断系统的稳定性及稳定性储备(也是判别所有的根具有负实部)。

1． 奈魁斯特稳定判据：

根据保角映射理论，当在[s]平面上ω从-∞变化到+∞时，在[GH]平面所的奈氏曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数为N_０=P_R-Z_R，其中P_R为开环右极点个数，Z_R为闭环右极点的个数。

因此系统稳定（闭环右极点个数为零Z_R=0）的充要条件为：Z_R=P_R-N_０=0。一般开环稳定的系统P_R=0，则闭环系统稳定的条件为奈氏曲线不包围（-1，j0）。因奈氏曲线一般只画出ω从０变化到+∞时的曲线，此时的奈氏稳定性判据改为Ｚ_R＝Ｐ_R－２Ｎ，Ｎ为ω从０变化到+∞时的曲线包围（-1，j0）点的圈数。

注意：

１）开环稳定闭环不一定是稳定的，反之开环不稳定闭环有可能是稳定的。对于最小相位的开环传递函数，并且开环增益大于零时，则只有三阶或三阶以上的闭环系统才可能不稳定。

２）当开环传递函数含有积分环节时（即有位于原点的极点），当ω→０时奈氏曲线沿某一坐标轴趋向∞开环曲线不封闭，可以通过作辅助曲线（圆）后再进行判别，辅助曲线是一半径为∞的圆弧，从奈氏曲线的起始端开始反时针方向绕过λ*90^o和实轴相交后即可。

３）当曲线通过（－１，j0）点时，表示闭环系统有极点位于虚轴上，为临界稳定状态，归为不稳定的情况。

４）虚轴上及原点上的开环极点为左极点。

５）对于比较复杂的系统，不容易直接看出包围的圈数时，可采用“穿越”的概念：

所谓“穿越”是指奈氏开环曲线穿过（－１,j0）点左侧的实轴。若由上向下穿越时为正穿越，反之由下向上穿越为负穿越。穿越一次，则穿越次数为１，若曲线始于或止于（－１,j0）点左侧的实轴上时，则穿越次数为１/2。穿越次数即为包围点的圈数，正穿越时为逆时针包围圈数为正，反之负穿越则包围圈数为负。

例：

开环传递函数为振荡环节时；Ｐ_R＝０，Ｎ_R＝０，系统稳定。

：Ｐ_R＝０，Ｎ＝－１（ω＝０，∞时），不稳定，有个右极点。

2． 对数判据：

奈氏图上的单位圆在伯德图上的对数幅频图是０ｄＢ线，奈氏图上的负实轴在伯德图的对数相频图上是－180^o线。因此开环幅相频率特性在奈氏图上与单位圆相交的频率即为对数幅频特性曲线Ｌ（ω）和０ｄＢ线相交的幅值穿越频率ω_c。在奈氏图上与负实轴相交的频率即为对数相频特性曲线Φ（ω）和－180^o线相交的相位穿越频率ω_g。

时，。时，。

对数判据：正穿越为相角增大（向上）穿越－180^o线，负穿越则反之。在ω从０变化到+∞时，在的区段，穿越次数Ｎ＝正穿越次数Ｎ^＋－负穿越次数Ｎ^－。与奈氏判据相类似地，２Ｎ＝Ｐ_R，系统稳定，否则系统不稳定。

１）对于开环稳定系统，在ω从０变化到+∞时，在的区间，若相角不穿越－１８０^o线，则系统稳定。

２）当时正好发生相频曲线穿越－１８０^o线，系统临界稳定状态。

３）对于有积分环节的开环传递函数，应同样添补辅助线：在相频特性曲线上，从除积分环节外的其他环节在ω＝０时的相角和φ_０开始连接到相频线的ω＝０^＋处(相位差：λ*90^o)。

3． 具有延时环节的系统稳定性分析：

开环传递函数：

频率特性：

幅频特性：

相频特性：

幅频特性不变，但相频特性发生变化，使相位滞后加大，有可能使系统在低频段（）时出现小于－１８０^o的相位，即发生负穿越，引起系统不稳定。

例：求开环传递函数的系统的临界稳定的临界Ｋ值。

当，即，ω＝2.45时，幅值应为１：即：

得：Ｋ＝2.65

§3.控制系统的相对稳定性

由于在系统分析、计算、实验、制造及工作环境等存在误差或发生不可预测的变化，因此为保证系统能稳定可靠地工作，应有一定的稳定储备。稳定储备用相角裕量（储备）和幅值裕量（储备）来进行定量表示。

一．相角裕量γ

定义：在幅值穿越频率ω_c上，使系统达到临界稳定所需要附加的相位角。（）

对于开环稳定的闭环系统，时系统稳定，一般γ＝３０^o～６０^o为宜，过大系统快速性下降。

对于开环不稳定的闭环系统，时系统稳定。

二．幅值裕量K_g

定义：在相位穿越频率（ω_g）上使系统达到临界稳定所需要的附加增益量。()

，

以分贝表示时：

对于开环稳定的闭环系统， ，即K_g<1或K_g（dB）<0时系统稳定，一般K_g（dB）<6，dB(K_g<2)。

对于开环不稳定的闭环系统，，即K_g>1或K_g（dB）>0时系统稳定。

说明：

１） 相位裕量和幅值裕量应同时进行考虑，其中一项达到要求并不能说明系统的稳定储备就满足了。

２） 对于最小相位系统，应具有正相位裕量和正幅值裕量。

３） 最小相位系统的幅值和相位有确定的对应关系，要求达到γ＝３０^o～６０^o、K_g（dB）<6，则在幅值穿越频率处的斜率应大于－４０dB/dec，一般应为－２０dB/dec，否则幅值裕量达到了则相位裕量就无法达到。

４） 对于二阶振荡系统理论上不可能不稳定，但如果有延时环节存在时则一阶或二阶系统也可能变成不稳定，幅值穿越频率为：，得相位裕量为：

三．影响系统稳定性的主要因素

１． 系统开环增益：降低系统开环增益，可增加系统的幅值和相位储备，从而提高系统的相对稳定性。

２． 积分环节：积分环节越多，稳定性越差，一般开环系统中的积分环节不能超过２个。

３． 系统固有频率和阻尼比：最小相位的二阶系统不存在稳定性问题，对于高阶系统他们匹配不合理则会造成系统不稳定，开环增益确定时，固有频率越高、阻尼比越大，系统稳定性储备越大。

４． 延时和非最小相位环节：他们会降低稳定性储备，从而降低系统的稳定性能，因此应尽量避免延时环节和非最小相位环节的出现，或尽量减小延时环节的时间常数。

*本章要解决的问题：

1．稳定性的基本概念；

2．稳定判据；

3．相对稳定性的概念及计算方法。

*本章重点：稳定判据（奈氏和对数）；相对稳定性计算。

*难点：稳定性判断；穿越频率和相角交界频率的计算。