多维随机变量及其分布(知识点部分01)

1.分布函数

$设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数:$
$$F(x,y)=P\{X⩽x)\bigcap (Y⩽y)\}\stackrel{记成}{=}P\{X⩽Y⩽y\}$$
$称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数.$

2.离散型随机变量

$如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量，称P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij},i,j=1,2,\dots 为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或称为随机变量X和Y的联合分布律.$

3.连续型随机变量

$对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负可积函数f(x,y)使对于任意x,y有$
$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv,$$
$则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度.$

4.概率密度f(x,y)的性质

$$\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y).$$

5.边缘分布

$X和Y的分布函数F_x(x),F_y(y)称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.X的分布律为$$$p_{i.}=\sum _{j=1}^{\infty }=P\{X=x_i\},i=1,2,\dots ,$$
$Y的分布律为$
$$p_{.j}=\sum _{i=1}^{\infty }=P\{Y=y_j\},j=1,2,\dots ,$$
$分别称P_{i.}(i=1,2,\dots )和P_{.j}(j=1,2,\dots )为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律.$

6.边缘概率密度

$X的概率密度为$
$$f_x(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy.$$
$Y的概率密度为$
$$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx.$$
$分别称f_x(x),f_Y(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度.$

7.二维正态分布

$设二维随机变量(X,Y)的概率密度为$
$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{\frac{-1}{2\left(1-{\rho }^2\right)}\left[\frac{{\left(x-{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{\left(x-{\mu }_1\right)\left(y-{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{{\left(y-{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}$$
$其中{\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho 都是常数，且{\sigma }_1>0,{\sigma }_2>0,-1<\rho <1.我们称(X,Y)为服从参数为{\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho 的二维正态分布，记为(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho ).$

8.二维正态随机变量的边缘概率密度

$$f_x(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}},-\infty <x<\infty$$
$$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}{\mathrm{e}}^{-\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2}},-\infty <y<\infty$$