前言
刷刷题觉得自己行了，打开剑指Offer的一道简单题，一下又给我整不会了：
给定两个整数 a 和 b ，求它们的除法的商 a/b ，要求不得使用乘号 '*'、除号 '/' 以及求余符号 '%' 。
整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，例如：truncate(8.345) = 8 以及 truncate(-2.7335) = -2
假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [−2^31, 2^31−1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回 2^31 − 1
叛逆做法，反正leetcode不会真的检查符号的使用：
int divide(int a, int b) {
if(a == -2147483648 && b == -1)
return 2147483647;
return a/b;
}
投机做法，确实没在我代码里出现你的符号：
int divide(int a, int b) {
if(a == -2147483648 && b == -1)
return 2147483647;
divides<int> n;
return n(a,b);
}
提到位运算只能想到一些特殊的运算，比如乘2什么的，完全没有想过怎么用位运算实现int的加减乘除，不如一次性解决：
正文
相加
先来回忆一下娘胎里学的十进制竖式进位加法，我们看73+49：
- 首先把每一位的数字相加，若超过9，则把个位数写在下面，进位的1标到更高一位；
不考虑进位得到结果12，考虑进位得到结果110； - 把进位数与刚才写的个位结果相加，即得到两数和122，（如果两数相加还是需要进位的话可以再继续列竖式）；
当然，更多时候我们直接省略了第二步，直接把高位加起来一起算，或是竖式还有其他的写法。但总体剖开，无非是：
- 不考虑进位得到结果1；
- 进位得到结果2；
- 结果1与结果2相加。
接下来我们切换到二进制，并把计算权交给只会位运算的计算机：
先熟悉一下基本的位运算：按位与&、按位异或^、按位或|、按位取反~、向左\向右移位<<\>>；
把十进制里面的运算对应上去，二进制的不考虑进位的位相加，异或运算正好满足：1 ^ 0 = 1, 0 ^ 0 = 0, 1 ^ 1 = 0；
那进位的数字怎么得到呢？需要满足1、0或0、0不进位（0），仅1、1进位，与运算也恰好满足：1 & 0 = 0, 0 & 0 = 0, 1 & 1 = 1；
还需要进向高位，左移1位即可<< 1；
如此以来，所需要的运算也都满足了，那么我们以实例看一下二进制的竖式运算过程：
如101+111：
- 不考虑进位得到结果10，考虑进位得到1010，结果相加：
- 不考虑进位得到结果1000，考虑进位得到10，结果相加：
- 不考虑进位得到结果1100，考虑进位得到0，结果相加，哦也没必要相加了。
为了方便对比再加个十进制的例子：
我们有这么几个关键数据：
两个待相加的数；
每次不考虑进位相加得到的结果，记为sumtmp；
每次考虑进位相加得到的进位结果，记为carry，英文意为进位；
最后变成无需进位的加法时标志都是carry变为0；
那么算法很清晰了：
- 两数按位异或得到
sumtmp； - 两数按位与并向左移1位得到
carry； - 再继续把
sumtmp和carry相加，直到carry变为0时终止，此时的sumtmp即最终的和；
转化成代码：
// 迭代的写法
int Sum(int a, int b) {
int sumtmp = a ^ b;
int carry = (a & b) << 1;
return carry == 0 ? sumtmp : Sum(sumtmp, carry);
}
// 循环的写法
int Sum(int a, int b) {
int sumtmp = a ^ b;
int carry = (a & b) << 1;
while (carry) {
int temp = sumtmp;
sumtmp = temp ^ carry;
carry = (temp & carry) << 1;
}
return sumtmp;
}
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负数的问题，计算机默认的补码已经解决了。就是还没有溢出检测。
那再加上溢出检测。
方法：只有两个符号相同的数相加才会溢出，溢出后相加结果会变为另一符号；
以4位为例，表示范围为 -8 ~ 7，0111 + 0001 = 1000（溢出！）；1001 + 1010 = 0110（溢出！）
int Sum(int a, int b) {
int sumtmp = a ^ b;
int carry = (a & b) << 1;
int res = (carry == 0 ? sumtmp : Sum(sumtmp, carry));
if ((a ^ b) > 0 && (res ^ a) < 0) { //
cout << "Error: << a << " + " << b << is out of range!" << endl;
return 0;
}
return res;
}
相减
相减，把一个数取相反数再相加即可，所以要考虑的只有怎么通过位运算取相反数。
找个例子拿0011(3)和1101(-3)，可以看到按位取反再加1就是想要的结果，刚好加能用上了，唯一的溢出就是取反-2^31，那么：
int Negate(int a) {
if (a == 0x80000000) {
cout << "Error: Negate( " << a << " ) is out of range!" << endl;
return 0;
}
return Sum(~a, 1);
}
int Sub(int a, int b) {
return Sum(a, Negate(b));
}
乘法
乘法很容易想到暴力解题的思路，a*b就是b个a相加的和。先不考虑符号，两数取绝对值，然后循环累加b次a，得到结果。符号单独判断：由于相乘仅需知道符号位相反或相同->想到异或，两数异或，符号位相反则结果符号位为1（异或结果小于0），否则为0（异或结果大于0），符号相反的话把上述累加结果取反即可，刚好取反的函数也有了。
再考虑一下取绝对值：如果大于0返回自身，小于0则返回相反数，唯一溢出可能是-2^31。
先不考虑乘法的优化和溢出：
int Abs(int a) {
if (a == 0x80000000) {
cout << "Error: Abs ( " << a << " ) is out of range!" << endl;
return 0;
}
return a < 0 ? Negate(a) : a;
}
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int Multi(int a, int b) {
int multiplier = Abs(a), mulyiplicand = Abs(b);
int res = 0;
while (mulyiplicand) {
res = Sum(res, multiplier);
--mulyiplicand;
}
if ((a ^ b) < 0) // 若符号相反
return Negate(res);
return res;
}
再考虑一下溢出：
先列出特殊情况：
两数正常，乘积越界；如
2^20 * 2^20，又特殊如-2^20 * 2^11；对正数讲，每次累加，结果都只会大于上次的累加值，一旦发生累加值小于上次，说明发生了溢出；负数则相反，每次累加值应该小于上次的结果；那么考虑同号异号的两种情况，用
tmp存储上次累加值，negaflag用作判断的标志位Abs不允许-231，但-231可以与1和0相乘（唯二的非溢出情况）：
上个情况可以解决，但特殊处理一下能保证不会进入Abs和Negate函数再次报错溢出；
……
代码结合一下：
int Multi(int a, int b) {
if (a == 0 || b == 0) return 0;
if (a == 0x80000000 || b == 0x80000000) {
if (b == 1)
return a;
if (a == 1)
return b;
else {
cout << a << " * " << b << " is out of range!" << endl;
return 0;
}
}
int multiplier, mulyiplicand;
int negaflag; // 标记符号相反，方便对比
if ((a ^ b) < 0) { // 若符号相反
multiplier = a < 0 ? a : b; // 负数作为累加值
mulyiplicand = b > 0 ? b : a; // 正数还是用于循环
negaflag = 1;
} else { // 符号相同
multiplier = Abs(a);
mulyiplicand = Abs(b);
negaflag = 0;
}
int res = 0, tmp = 0;
while (mulyiplicand) {
res = Sum(res, multiplier);
if ((negaflag && tmp < res) || (!negaflag && tmp > res)) {
cout << a << " * " << b << " is out of range!" << endl;
return 0;
}
--mulyiplicand;
tmp = res;
}
return res;
}
除法
除法又得从竖式看起了，不过这里我们把十进制跳过，直接看二进制：公式里面没有竖式的除符号，就拿根号代替吧。
捕捉到这么几个关键步骤：
- 还是先取绝对值，把除数和被除数对齐（除数左移位），相减，如果除数移位后大于被除数，则当前处理的对齐位后移，否则：
- 把商对应位置1，将相减得到的数作为被除数，继续除以除数；
对齐，判断除数和被除数的有效位，即最高位的1在哪，他们之间的差就是要除数左移对齐的位数；
清晰了写代码：
int GetBitLength(int a) {
if (a < 0) {
cout << "Error: GetBitLength is not for negative int!" << endl;
exit(1);
}
int len = 0;
while (a) {
len++;
a = a >> 1;
}
return len;
}
int Divide(int a, int b) {
int dividend = Abs(a), divisor = Abs(b);
int bitdiff = Sub(GetBitLength(dividend), GetBitLength(divisor));
int res = 0; // 商
while (bitdiff >= 0) { // bitdiff为商的当前操作位
int tmp = divisor << bitdiff; // 除数左移位
if (tmp > dividend) { // 移位后若大于被除数则操作位继续后移
bitdiff = Sub(bitdiff, 1);
continue;
}
res |= (1 << bitdiff); // 注：'|='为按位或
dividend = Sub(dividend, tmp); // 差值作为新的被除数
bitdiff = Sub(GetBitLength(dividend), GetBitLength(divisor));
}
if ((a ^ b) < 0) // 符号相反
return Negate(res);
return res;
}
考虑溢出，还是列特殊情况：
- 除数是0；
- Abs不允许-231，可以除以1；-231 / (-1) 也会溢出；
int Divide(int a, int b) {
if (b == 0) {
cout << "Error: divisor can not be 0!" << endl;
return 0;
}
if (a == 0x80000000 && b != 1) {
cout << "Error: Divide result is out of range!" << endl;
return 0;
}
int dividend = Abs(a), divisor = Abs(b);
int bitdiff = Sub(GetBitLength(dividend), GetBitLength(divisor));
int res = 0; // 商
while (bitdiff >= 0) { // bitdiff为商的当前操作位
int tmp = divisor << bitdiff; // 除数左移位
if (tmp > dividend) { // 移位后若大于被除数则操作位继续后移
bitdiff = Sub(bitdiff, 1);
continue;
}
res |= (1 << bitdiff); // 注：'|='为按位或
dividend = Sub(dividend, tmp); // 差值作为新的被除数
bitdiff = Sub(GetBitLength(dividend), GetBitLength(divisor));
}
if ((a ^ b) < 0) // 符号相反
return Negate(res);
return res;
}
取余的话返回最后的差值就好。
希望dalao们多提意见，有错误请评论指出。
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