树的基本概念以及java实现二叉树

一、树

eg：二叉树实现代码在文末

什么是树

树是具有n个结点的有限集合

当n=0时，有且仅存在一个结点，该结点称为根结点
当n>0时，其余结点分为m个互斥的有限集合T1，T2，T3，每个集合分别称为子树
由此可知，树的定义是一个递归的定义，即树的定义中又用到了树的概念。

树的结构

/**
     * 构造函数
     *
     * @param <T>
     */
    public class TreeNode<T> {
        private int index;
		// 数据项
        private T data;
		// 指向左结点分支
        private TreeNode leftChild;
		// 指向右结点分支
        private TreeNode rightChild;

        ... get and set ...
    }

树的基本性质

1. 结点：包含了数据项和指向其他结点的分支
2. 结点的度：结点所拥有的子树棵树。
3. 叶结点&终端结点：即度为0的结点，
4. 子女结点：若结点x有子树，则子树的根结点即为结点x的子女。
5. 父结点：若结点x有子女，它即为子女的父结点
6. 根结点：没有父结点的结点称为根结点
7. 兄弟结点：同一父结点的子女互称为兄弟。
8. 祖先结点：从根结点到该结点所经历分支上的所有结点。
9. 子孙结点：某一结点的子女，以及这些子女的子女都是该结点的子孙。
10. 结点所处的层次：从根到该结点所经路径上的分支条数.根结点在第1层，它的子女在第二层。树中任一结点的层次为它的父结点的层次加1。结点所处层次亦称为结点的深度
11. 树的高度：叶结点的高度为1，非叶结点的高度等于它子女结点高度的最大值加1。
12. 树的度：树中结点的度的最大值。

二、二叉树

什么是二叉树

二叉树是树的一种特殊形态。二叉树的特点是每个结点最多拥有两个子女（就是不存在度大于2的结点），分别称为左子女和右子女，并且二叉树的子树有左右之分，其子树次序不能颠倒。

特殊二叉树

① 斜树
所有结点都只有左子树的叫做左斜树，所有节点都只有右子树的叫做右斜树

② 满二叉树
满二叉树：深度为k的满二叉树是有2^k-1个结点的二叉树。在满二叉树中，每一层的结点都达到了最大个数。除了最底层的结点度为0外，其他各层结点的度均为2。

3 完全二叉树
如果一棵具有n个结点的深度为k的二叉树，它的每一个结点都与高度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应，则称其为完全二叉树。其特点是从第一层到k-1层的所有各层的结点数都是满的，仅最下面第k层是满的，或从右向左连续缺若干结点。

三、二叉树的存储方式

完全二叉树的存储结构：顺序存储

对一棵具有n个结点的完全二叉树按照层次编号，则其存储结构可以顺序存储，如下图所示：

一般二叉树的存储结构：顺序存储

如图所示，其中红色箭头指向的结点不存在，这是一棵一般二叉树。对这棵树按照完全二叉树的方式编号，不存在的结点设置为空，则其存储结构可以顺序存储，如下图所示：

使用链表来存储二叉树

使用双向链表来存储一棵二叉树，数据结构如下所示：

class TreeNode{

	int data;
	TreeNode leftChild;
	TreeNode rightChild;
}

实现代码

package test;

import java.util.LinkedList;  
import java.util.List;  
  
/** 
 * 功能：把一个数组的值存入二叉树中，然后进行3种方式的遍历 
 *  
 * 参考资料0:数据结构(C语言版)严蔚敏 
 *  
 * 参考资料1：http://zhidao.baidu.com/question/81938912.html 
 *  
 * 参考资料2：http://cslibrary.stanford.edu/110/BinaryTrees.html#java 
 *  
 * @author ocaicai@yeah.net @date: 2011-5-17 
 *  
 */  
public class BinTreeTraverse2 {  
  
    private int[] array = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };  
    private static List<Node> nodeList = null;  
  
    /** 
     * 内部类：节点 
     *  
     * @author ocaicai@yeah.net @date: 2011-5-17 
     *  
     */  
    private static class Node {  
        Node leftChild;  
        Node rightChild;  
        int data;  
  
        Node(int newData) {  
            leftChild = null;  
            rightChild = null;  
            data = newData;  
        }  
    }  
  
    public void createBinTree() {  
        nodeList = new LinkedList<Node>();  
        // 将一个数组的值依次转换为Node节点  
        for (int nodeIndex = 0; nodeIndex < array.length; nodeIndex++) {  
            nodeList.add(new Node(array[nodeIndex]));  
        }  
        // 对前lastParentIndex-1个父节点按照父节点与孩子节点的数字关系建立二叉树  
        for (int parentIndex = 0; parentIndex < array.length / 2 - 1; parentIndex++) {  
            // 左孩子  
            nodeList.get(parentIndex).leftChild = nodeList  
                    .get(parentIndex * 2 + 1);  
            // 右孩子  
            nodeList.get(parentIndex).rightChild = nodeList  
                    .get(parentIndex * 2 + 2);  
        }  
        // 最后一个父节点:因为最后一个父节点可能没有右孩子，所以单独拿出来处理  
        int lastParentIndex = array.length / 2 - 1;  
        // 左孩子  
        nodeList.get(lastParentIndex).leftChild = nodeList  
                .get(lastParentIndex * 2 + 1);  
        // 右孩子,如果数组的长度为奇数才建立右孩子  
        if (array.length % 2 == 1) {  
            nodeList.get(lastParentIndex).rightChild = nodeList  
                    .get(lastParentIndex * 2 + 2);  
        }  
    }  
  
    /** 
     * 先序遍历 
     *  
     * 这三种不同的遍历结构都是一样的，只是先后顺序不一样而已 
     *  
     * @param node 
     *            遍历的节点 
     */  
    public static void preOrderTraverse(Node node) {  
        if (node == null)  
            return;  
        System.out.print(node.data + " ");  
        preOrderTraverse(node.leftChild);  
        preOrderTraverse(node.rightChild);  
    }  
  
    /** 
     * 中序遍历 
     *  
     * 这三种不同的遍历结构都是一样的，只是先后顺序不一样而已 
     *  
     * @param node 
     *            遍历的节点 
     */  
    public static void inOrderTraverse(Node node) {  
        if (node == null)  
            return;  
        inOrderTraverse(node.leftChild);  
        System.out.print(node.data + " ");  
        inOrderTraverse(node.rightChild);  
    }  
  
    /** 
     * 后序遍历 
     *  
     * 这三种不同的遍历结构都是一样的，只是先后顺序不一样而已 
     *  
     * @param node 
     *            遍历的节点 
     */  
    public static void postOrderTraverse(Node node) {  
        if (node == null)  
            return;  
        postOrderTraverse(node.leftChild);  
        postOrderTraverse(node.rightChild);  
        System.out.print(node.data + " ");  
    }  
  
    public static void main(String[] args) {  
        BinTreeTraverse2 binTree = new BinTreeTraverse2();  
        binTree.createBinTree();  
        // nodeList中第0个索引处的值即为根节点  
        Node root = nodeList.get(0);  
  
        System.out.println("先序遍历：");  
        preOrderTraverse(root);  
        System.out.println();  
  
        System.out.println("中序遍历：");  
        inOrderTraverse(root);  
        System.out.println();  
  
        System.out.println("后序遍历：");  
        postOrderTraverse(root);  
    }  
  
}  

结果：

先序遍历：
1 2 4 8 9 5 3 6 7 
中序遍历：
8 4 9 2 5 1 6 3 7 
后序遍历：
8 9 4 5 2 6 7 3 1