函数的凹凸性证明_函数的凹凸性与不等式

一、函数的凹凸性

考察抛物线的图像，如图1.1所示，它有一个明显的特征：对于图像上任意两点，可以连成一条弦，而与之间的曲线可以看成一条弧.显然，弧上所有的点都在相对应的弦的下面.严格地说，对任意,横坐标为的点所对应弧上点之纵坐标小于弦上点之纵坐标，即

但

若令

则有且，于是以上不等式可以写成

具有以上特征的函数，我们通常称为下凸函数。

对于一般的  来说，图像既可能上凸亦可能下凸，下面给出函数凹凸性质的严格定义

定义1(下凸函数) 若函数  是定义在  的单变量函数.称  为  上的上凸函数，当且仅当对任意的  以及  ,总有

若不等号取不了等，则我们称之为严格上凸。

定义2(上凸函数) 若函数  是定义在  的单变量函数.称  为  上的上凸函数，当且仅当对任意的  以及  ,总有

若不等号取不了等，则我们称之为严格下凸

定理1(函数凸性的判定)若函数  是定义在  的实函数.对任意的  ，  ,则 为  上的下(上)凸函数。

因为上凸和下凸证明类似，下面仅对下凸函数作出证明。

：我们将证明对任意的 以及  ,总有

事实上，假设  是常数，定义

对  求导，

注意到  ，则  是  上的增函数，于是，当  时，  ;当  时，  ;总而言之，我们有

练习题

问题1：证明：函数  在  上是上(下)凸函数的充分必要条件是：对任意的  ,和任意的  有

成立

问题2：函数  在  上是上(下)凸函数，当且仅当对任意三点  有

问题3：函数  在  上是上(下)凸函数，当且仅当对任意三点 有

事实上，问题2是问题3的变形，问题2和问题3我们称之为  判定定理。

二、  不等式

定理2.1() 若函数  是  的下凸函数，则对所有  ，有

若是上凸函数，则不等号反向

定理2.2(加权  ) 函数  是  的下凸函数，  则对所有  ，有

若  是上凸，则

例1(IMO,2001) 设  是正实数，证明：

 1(使用加权  不等式)：注意到不等式是齐次的，因此我们可以在不失一般性的情况下进行假设，  ，定义函数  ,因为  ，所以有

又由

即原不等式成立 □

 2(使用  不等式)：注意到我们可以将左式改写成：

定义函数  ,显然是上凸，则

例2(幂平均单调不等式) 对实数  和正实数  ,若  ,则

不等式 可改写成

定义函数  ， 应用 不等式，即 □

练习题

问题1 在任意三角形  中，证明： 

问题2 设  ,证明：

问题3

三，  不等式

定理(  )三元 若函数  是  的下凸函数，则对所有  ，有

定理(  ) 一般形式 若函数  是  的下凸函数，则对所有  ，有

例1 设  是三个正实数，且满足  ，试找到最大的实数  使得 

 设  ，由  不等式，我们有

所以我们有

即 

练习题

问题1(AoPS)设  ，证明

问题2

四，优超(控制)与  不等式

定义(优超) 设向量  表示  中分量的递减重排，若对于  ，有 

则称  优超  ，记为 

https://mathworld.wolfram.com/Majorization.htmlmathworld.wolfram.com

定理(  ) 若序列  ，且  为下凸函数，则

(上凸则不等号反向)

例1(APMO,1996) 若  是三角形的三条边，求证：

 不妨假设  ,定义函数  注意到  由  不等式即证。

例2 证明：

 原不等式等价于

不妨假设  ,  。因为

由  不等式，即证

练习题

问题1 若非负实数  满足  ，求  的最小值

问题2＆3 在非钝角三角形ABC中，求证

1)
2)