一、套期保值(复制原理)
基本思想：构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。求取看涨期权价值call的具体步骤如下：
H：购买股票的数量的比率(套期保值比率)；
S0：股票的初始价格；
r：1年的无风险利率；
b：以无风险利率借款初始额;
u：股票的上升幅度；
d：股票的下降幅度；
1年后，价格可能50%上升为Su=uS0，也可能50%下降到Sd=dS0
1年后，如果股票上升，收益：Cu=HSu-b(1+r) ①
1年后，如果股票下降，收益：Cd=HSd-b(1+r) ②
由①②两式可以解得：
组合投资成本＝看涨期权价值Call＝购买股票支出－借款
二、风险中性原理
基本思想：假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期报酬率都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其承担的风险。在风险中性的世界里，将期望值用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值。
购买股票的数量为H，卖出1份看涨期权价格为call;
从0到△t时刻，股票上升收益为fu,股票下降收益为fd
股票如果上升，投资价值为HS0u-fu
股票如果下降，投资价值为HS0d-fd
在风险中性下，则应当满足上升与下降后的价值相同。
如果股票上升，则价值为
看涨期权的价值为call，有
假定股票上升的概率为p，下降的概率为1-p，有
由以上两式消去call，最终可以解得
其中p为股票价格上升概率，△t为股票初始S0上升到S0u这段年化时间。
u：股票的上升幅度；d：股票的下降幅度；
三、多步二叉树——欧式看涨/看跌期权
下面主要讲解以风险中性原理来构建二叉树。
1.两步二叉树
2.多步二叉树
当二叉树模型扩展到n步后,其计算的方法仍然是相同的,从后往前依次计算出每个节点的期权价格,并乘以对应的风险中性概率,直到求出t=0时刻的期权价格。检验发现,当n达到比较大时，二叉树模型所确定的期权价格趋于一个平稳的值(如图所示),这也在一定程度上说明了二叉树模型的合理性和实用性。
对于n步二叉树的上升幅度u和下降幅度d的求解方法如下：
股票收益率在短期时间△t的方差是σ^2△t，其中σ是波动率。
使用统计学中的标准公式，收益的方差为E(R2)-[E(R)]2，其中R是收益，E表示期望值。在二叉树的一个步骤中，上升概率为p的收益为u-1，下降概率为1-p的收益为d-1。因此，我们需要选择u和d，以便：
将以下p值代入上式，
采用指数函数展开式
忽略二阶项以后的阶数，有
可以求得一般的参数如下：
△t为每两步之间的年化时间；
p为股票上升的概率，则下降概率为1-p；
u为股票上升的幅度，d为股票下降的幅度。
【案例分析1】两步二叉树的欧式看涨期权
Python实现：
import numpy as np
#二叉树模型对欧式看涨期权定价
def binarytree_europcall(S,K,r,q,sigma,t,steps):
'''S:标的资产初始价格；K:期权的执行价格;r:年化无风险利率；q:连续分红的红利率；sigma:标的资产连续复利收益率的标准差；t:以年表示的时间长度；steps:二叉树的步长。'''
u=np.exp(sigma*np.sqrt(t/steps)) #时间间隔为△t=t/steps
d=1/u
P=(np.exp((r-q)*t/steps)-d)/(u-d)
prices=np.zeros(steps+1) #生成最后一列的股票价格空数组
c_values=np.zeros(steps+1) #生成最后一列的期权价值空数组
prices[0]=S*d**steps #最后一行最后一列的股票价格
c_values[0]=np.maximum(prices[0]-K,0)#最后一行最后一列的期权价值
for i in range(1,steps+1):
prices[i]=prices[i-1]*(u**2) #计算最后一列的股票价格
c_values[i]=np.maximum(prices[i]-K,0) #计算最后一列的期权价值
for j in range(steps,0,-1): #逐个节点往前计算
for i in range(0,j):
c_values[i]=(P*c_values[i+1]+(1-P)*c_values[i])*np.exp(-r*t/steps)
return c_values[0]
A=binarytree_europcall(S=810,K=800,r=0.05,q=0.02,sigma=0.2,t=0.5,steps=2)
print('运用二叉树模型计算欧式看涨期权的价格为：',round(A,1))
四、多步二叉树——美式看涨/看跌期权
美式期权可能提前行权，要在欧式期权的基础上加一步是否提前行权的判断。定价过程变为：
①计算叶子节点的期权价值。
②向前加权平均并折现，得到前一层节点的期权价值。
③判断在该节点是否提前行权，若提前行权的话，将提前行权的期权价值更新为本节点的期权价值。
④不断重复2和3步至0时刻。
判断是否提前行权，需要先计算提前行权的收益。提前行权的收益为本节点上股票的预期价格减执行价格。如果收益大于期权价值，说明提前行权获利更多，因此会提前行权；反之则不会。
【案例分析2】两步二叉树的欧式看跌期权与美式看跌期权对比。
Python实现：
#二叉树模型对欧式看跌期权定价
def binarytree_europput(S,K,r,q,sigma,t,steps):
'''S:标的资产初始价格；K:期权的执行价格;r:年化无风险利率；q:连续分红的红利率；sigma:标的资产连续复利收益率的标准差；t:以年表示的时间长度；steps:二叉树的步长。'''
u=np.exp(sigma*np.sqrt(t/steps)) #时间间隔为△t=t/steps
d=1/u
P=(np.exp((r-q)*t/steps)-d)/(u-d)
prices=np.zeros(steps+1) #生成最后一列的股票价格空数组
c_values=np.zeros(steps+1) #生成最后一列的期权价值空数组
prices[0]=S*d**steps #最后一行最后一列的股票价格
c_values[0]=np.maximum(K-prices[0],0)#最后一行最后一列的期权价值
for i in range(1,steps+1):
prices[i]=prices[i-1]*(u**2) #计算最后一列的股票价格
c_values[i]=np.maximum(K-prices[i],0) #计算最后一列的期权价值
for j in range(steps,0,-1): #逐个节点往前计算
for i in range(0,j):
c_values[i]=(P*c_values[i+1]+(1-P)*c_values[i])*np.exp(-r*t/steps)
return c_values[0]
B=binarytree_europput(S=29,K=30,r=0.03,q=0,sigma=0.25,t=1,steps=2)
print('运用二叉树模型计算欧式看跌期权的价格为：',round(B,3))
Python实现：
#二叉树模型对美式看跌期权定价
def binarytree_americaput(S,K,r,q,sigma,t,steps):
'''S:标的资产初始价格；K:期权的执行价格;r:年化无风险利率；q:连续分红的红利率；sigma:标的资产连续复利收益率的标准差；t:以年表示的时间长度；steps:二叉树的步长。'''
u=np.exp(sigma*np.sqrt(t/steps))
d=1/u
P=(np.exp((r-q)*t/steps)-d)/(u-d)
prices=np.zeros(steps+1)
c_values=np.zeros(steps+1)
prices[0]=S*d**steps
c_values[0]=np.maximum(K-prices[0],0)
for i in range(1,steps+1):
prices[i]=prices[i-1]*(u**2)
c_values[i]=np.maximum(K-prices[i],0)
for j in range(steps,0,-1):
for i in range(0,j):
prices[i]=prices[i+1]*d
c_values[i]=np.maximum((P*c_values[i+1]+(1-P)*c_values[i])*np.exp(-r*t/steps),K-prices[i])
return c_values[0]
C=binarytree_americaput(S=29,K=30,r=0.03,q=0,sigma=0.25,t=1,steps=2)
print('运用二叉树模型计算美式看跌期权的价格为：',round(C,3))
【拓展】如果我们不断扩充二叉树的步数，比如4步的计算如下：
Python实现：
D=binarytree_americaput(S=29,K=30,r=0.03,q=0,sigma=0.25,t=1,steps=4)
print('运用二叉树模型计算美式看跌期权的价格为：',round(D,3))
当二叉树的步数增加，则模型更为精确。例如，步数分别为20，50，100和500，相应的美式看跌期权的价格分别为3.082，3.067，3.059和3.055.在实践中，我们通常使用步长至少在30-50之间。
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