参考 S.-J. Kim, K. Koh, S. Boyd, and D. Gorinevsky “l_1 Trend Filtering” SIAM Review, problems and techniques section, 51(2):339–360, May 2009

趋势滤波（Trend Filtering）

假设时间序列$y_t,t=1,\dots ,n$由缓慢变化的趋势（Trend）$x_t$和快速变化的噪声$v_t$组成。趋势滤波的目的是从时间序列$y_t$中估计趋势$x_t$。趋势滤波（Trend Filtering）可以看作一个具有两个目标的优化问题：我们希望$x_t$平滑，同时希望$v_t$尽可能地小。

$l_1$趋势滤波

$l_1$趋势估计问题：
$$\text{minimize}\frac{1}{2}\Vert y-x{\Vert }_2^2+\lambda \Vert Dx{\Vert }_1$$
其中$\lambda >0$是正则参数，控制$x_t$的平滑度和$v_t$的大小之间的折中，$D$是二阶差分矩阵，是一个托普利兹矩阵，第一行是$[1-210\cdots 0]$。

代码如下：

% 加载时间序列数据
y = csvread('snp500.txt'); % 需要在CVX示例库处下载
n = length(y);

% 构造二阶差分矩阵
e = ones(n,1);
D = spdiags([e -2*e e], 0:2, n-2, n);

% 设置正则参数
lambda = 50;

% 求解l1趋势滤波问题、
cvx_begin
    variable x(n)
    minimize( 0.5*sum_square(y-x)+lambda*norm(D*x,1) )
cvx_end

% 画出估计的趋势和原始信号
figure(1);
plot(1:n,y,'k:','LineWidth',1.0); hold on;
plot(1:n,x,'b-','LineWidth',2.0); hold off;
xlabel('date'); ylabel('log price');