哈夫曼树
1.哈夫曼树基本介绍
哈夫曼树的定义：
给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度(wpl)达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为赫夫曼树或霍夫曼树
哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的节点离根节点较近。
几个重要概念：
路径：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子节点之间的通路
路径长度：通路中分支的数目。若规定根节点的层数为1，则从根节点到第L层节点的路径长度为L-1
节点的权：若将树中节点付给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该节点的权
结点的带权路径长度：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积
树的带权路径长度：所有叶子结点的带权路径长度之和(WPL)，权值越大的结点离节点越近的二叉树才是最优二叉树
WPL最小的就是哈夫曼树
如下图所示：中间的则为哈夫曼树
2.哈夫曼树的创建
哈夫曼树的创建步骤：
- 从小到大进行排序，将每个节点都可以看成是一颗最简单的二叉树
- 取出根节点权值最小的两颗二叉树
- 组成一颗新的二叉树，该新的二叉树的根结点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和
- 再将这棵二叉树以根节点的权值大小再次排序，不断重复1-2-3-4的步骤直到数列中所有的数据都被处理就得到一颗哈夫曼树。
举例：
给你一个数列{13,7,8,3,29,6,1}，要求转成一颗哈夫曼树
1.首先将原数列进行排序{1,3,6,7,8,13,29}
2.取出根节点权值最小的两颗二叉树组成一颗新的二叉树，该新的二叉树的根结点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和
3.再将这棵二叉树以根节点的权值大小再次排序
4.不断重复1-2-3-4的步骤直到数列中所有的数据都被处理就得到一颗哈夫曼树
代码实现：
import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;
public class HuffmanTree {
public static void main(String[] args) {
int arr[] = { 13, 7, 8, 3, 29, 6, 1 };
Node root = createHuffmanTree(arr);
//测试一把
preOrder(root); //
}
//编写一个前序遍历的方法
public static void preOrder(Node root) {
if(root != null) {
root.preOrder();
}else{
System.out.println("是空树，不能遍历~~");
}
}
// 创建赫夫曼树的方法
/**
*
* @param arr 需要创建成哈夫曼树的数组
* @return 创建好后的赫夫曼树的root结点
*/
public static Node createHuffmanTree(int[] arr) {
// 第一步为了操作方便
// 1. 遍历 arr 数组
// 2. 将arr的每个元素构成一个Node
// 3. 将Node 放入到ArrayList中
List<Node> nodes = new ArrayList<Node>();
for (int value : arr) {
nodes.add(new Node(value));
}
//我们处理的过程是一个循环的过程
while(nodes.size() > 1) {
//排序 从小到大
Collections.sort(nodes);
System.out.println("nodes =" + nodes);
//取出根节点权值最小的两颗二叉树
//(1) 取出权值最小的结点（二叉树）
Node leftNode = nodes.get(0);
//(2) 取出权值第二小的结点（二叉树）
Node rightNode = nodes.get(1);
//(3)构建一颗新的二叉树
Node parent = new Node(leftNode.value + rightNode.value);
parent.left = leftNode;
parent.right = rightNode;
//(4)从ArrayList删除处理过的二叉树
nodes.remove(leftNode);
nodes.remove(rightNode);
//(5)将parent加入到nodes
nodes.add(parent);
}
//返回哈夫曼树的root结点
return nodes.get(0);
}
}
// 创建结点类
// 为了让Node 对象持续排序Collections集合排序
// 让Node 实现Comparable接口
class Node implements Comparable<Node> {
int value; // 结点权值
char c; //字符
Node left; // 指向左子结点
Node right; // 指向右子结点
//写一个前序遍历
public void preOrder() {
System.out.println(this);
if(this.left != null) {
this.left.preOrder();
}
if(this.right != null) {
this.right.preOrder();
}
}
public Node(int value) {
this.value = value;
}
@Override
public String toString() {
return "Node [value=" + value + "]";
}
@Override
public int compareTo(Node o) {
// TODO Auto-generated method stub
// 表示从小到大排序
return this.value - o.value;
}
}
3.应用哈夫曼编码—数据压缩
3.1哈夫曼编码原理
1.假设要传输如下字符串：
2.统计各个字符出现的次数
3.按照上面字符出现的次数构建一颗哈夫曼树，次数作为权值
过程参考上一节的哈夫曼树的创建
结果如下图所示：
4.根据哈夫曼树，给各个字符规定编码(前缀编码)，向左的路径为0，向右的路径为1，编码如下：
5.按照上述的哈夫曼编码，我们的 “i like like like java do you like a java” 字符串对应的编码为(这里使用的是无损压缩)
通过哈夫曼编码处理，长度为133
6.长度为：133
原来的长度是359，压缩了 (359-133)/359=62.9%
此编码满足前缀编码，即字符的编码都不能是其他字符的前缀，不会造成匹配的多义性
注意：
这个哈夫曼树根据排序方式(出现相同值时排列方式不确定)不同也可能不一样，这样对应的哈夫曼编码也不完全一样，但wpl都是一样的，都是最小的。
比如：如果我们让每次生成的新的二叉树总是排在权值相同的二叉树的最后一个，则生成的二叉树为：
3.2实现生成哈夫曼树对应的哈夫曼编码
功能：根据哈夫曼编码原理，创建 “i like like like java do you like a java” 对应的哈夫曼树
思路：
- Node{data(存放数据)，weight(权值)，left 和 right}
- 得到 “i like like like java do you like a java” 对应的byte[] 数组
- 编写一个方法，将准备构建哈夫曼树的Node节点放到List，形式[Node[data=‘a’,weight = 5],Node[data =’ ',weight = 9]…]，体现d:1 y:1 u:1 j:2 v:2 o:2 l:4 k:4 e:4 i:5 a:5 ’ ':9
- 可以通过List创建对应的哈夫曼树
代码实现：
//生成赫夫曼树对应的赫夫曼编码
//思路:
//1. 将赫夫曼编码表存放在 Map<Byte,String> 形式
// 生成的赫夫曼编码表{32=01, 97=100, 100=11000,
//117=11001, 101=1110, 118=11011, 105=101,
//121=11010, 106=0010, 107=1111, 108=000, 111=0011}
static Map<Byte, String> huffmanCodes = new HashMap<Byte,String>();
//2. 在生成赫夫曼编码表示，需要去拼接路径,
//定义一个StringBuilder 存储某个叶子结点的路径
static StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
//为了调用方便，我们重载 getCodes
private static Map<Byte, String> getCodes(Node root) {
if(root == null) {
return null;
}
//处理root的左子树
getCodes(root.left, "0", stringBuilder);
//处理root的右子树
getCodes(root.right, "1", stringBuilder);
return huffmanCodes;
}
/**
* 功能：将传入的node结点的所有叶子结点的赫夫曼编码得到，并放入到huffmanCodes集合
* @param node 传入结点
* @param code 路径： 左子结点是 0, 右子结点 1
* @param stringBuilder 用于拼接路径
*/
private static void getCodes(Node node, String code, StringBuilder stringBuilder) {
StringBuilder stringBuilder2 = new StringBuilder(stringBuilder);
//将code 加入到 stringBuilder2
stringBuilder2.append(code);
if(node != null) { //如果node == null不处理
//判断当前node 是叶子结点还是非叶子结点
if(node.data == null) { //非叶子结点
//递归处理
//向左递归
getCodes(node.left, "0", stringBuilder2);
//向右递归
getCodes(node.right, "1", stringBuilder2);
} else { //说明是一个叶子结点
//就表示找到某个叶子结点的最后
huffmanCodes.put(node.data, stringBuilder2.toString());
}
}
}
//前序遍历的方法
private static void preOrder(Node root) {
if(root != null) {
root.preOrder();
}else {
System.out.println("赫夫曼树为空");
}
}
/**
* @param bytes 接收字节数组
* @return返回的就是 List 形式[Node[date=97 ,weight = 5], Node[]date=32,weight = 9]......],
*/
private static List<Node> getNodes(byte[] bytes) {
//1创建一个ArrayList
ArrayList<Node> nodes = new ArrayList<Node>();
//遍历 bytes , 统计 每一个byte出现的次数->map[key,value]
Map<Byte, Integer> counts = new HashMap<>();
for (byte b : bytes) {
Integer count = counts.get(b);
if (count == null) { // Map还没有这个字符数据,第一次
counts.put(b, 1);
} else {
counts.put(b, count + 1);
}
}
//把每一个键值对转成一个Node 对象，并加入到nodes集合
//遍历map
for(Map.Entry<Byte, Integer> entry: counts.entrySet()) {
nodes.add(new Node(entry.getKey(), entry.getValue()));
}
return nodes;
}
//可以通过List 创建对应的赫夫曼树
private static Node createHuffmanTree(List<Node> nodes) {
while(nodes.size() > 1) {
//排序, 从小到大
Collections.sort(nodes);
//取出第一颗最小的二叉树
Node leftNode = nodes.get(0);
//取出第二颗最小的二叉树
Node rightNode = nodes.get(1);
//创建一颗新的二叉树,它的根节点 没有data, 只有权值
Node parent = new Node(null, leftNode.weight + rightNode.weight);
parent.left = leftNode;
parent.right = rightNode;
//将已经处理的两颗二叉树从nodes删除
nodes.remove(leftNode);
nodes.remove(rightNode);
//将新的二叉树，加入到nodes
nodes.add(parent);
}
//nodes 最后的结点，就是赫夫曼树的根结点
return nodes.get(0);
}
}
//创建Node ,待数据和权值
class Node implements Comparable<Node> {
Byte data; // 存放数据(字符)本身，比如'a' => 97 ' ' => 32
int weight; //权值, 表示字符出现的次数
Node left;//
Node right;
public Node(Byte data, int weight) {
this.data = data;
this.weight = weight;
}
@Override
public int compareTo(Node o) {
// 从小到大排序
return this.weight - o.weight;
}
public String toString() {
return "Node [data = " + data + " weight=" + weight + "]";
}
//前序遍历
public void preOrder() {
System.out.println(this);
if(this.left != null) {
this.left.preOrder();
}
if(this.right != null) {
this.right.preOrder();
}
}
}
3.3生成哈夫曼编码对应的字节数组
通过生成的赫夫曼编码表，返回一个赫夫曼编码 压缩后的byte[]
代码实现：
//编写一个方法，将字符串转换为对应的byte[] 数组，
//通过生成的赫夫曼编码表，返回一个赫夫曼编码 压缩后的byte[]
/**
* @param bytes 这时原始的字符串对应的 byte[]
* @param huffmanCodes 生成的赫夫曼编码map
* @return 返回赫夫曼编码处理后的 byte[]
* 举例： String content = "i like like like java do you like a java";
* =》 byte[] contentBytes = content.getBytes();
* 返回的是 字符串 "101010001011111111001000101111111100
* 10001011111111001001010011011100011100000110111010001111001010
* 00101111111100110001001010011011100"
* => 对应的 byte[] huffmanCodeBytes ，即 8位对应一个 byte,放入到 huffmanCodeBytes
* huffmanCodeBytes[0] = 10101000(补码)
* => byte [推导 10101000=> 10101000 - 1 => 10100111(反码)=> 11011000= -88 ]
* huffmanCodeBytes[1] = -88
*/
private static byte[] zip(byte[] bytes, Map<Byte, String> huffmanCodes) {
//1.利用 huffmanCodes 将 bytes 转成 赫夫曼编码对应的字符串
StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
//遍历bytes 数组
for(byte b: bytes) {
stringBuilder.append(huffmanCodes.get(b));
}
//System.out.println("测试 stringBuilder~~~=" + stringBuilder.toString());
//将 "1010100010111111110..." 转成 byte[]
//统计返回 byte[] huffmanCodeBytes 长度
//一句话 int len = (stringBuilder.length() + 7) / 8;
int len;
if(stringBuilder.length() % 8 == 0) {
len = stringBuilder.length() / 8;
} else {
len = stringBuilder.length() / 8 + 1;
}
//创建 存储压缩后的 byte数组
byte[] huffmanCodeBytes = new byte[len];
int index = 0;//记录是第几个byte
for (int i = 0; i < stringBuilder.length(); i += 8) { //因为是每8位对应一个byte,所以步长 +8
String strByte;
if(i+8 > stringBuilder.length()) {//不够8位
strByte = stringBuilder.substring(i);
}else{
strByte = stringBuilder.substring(i, i + 8);
}
//将strByte 转成一个byte,放入到 huffmanCodeBytes
huffmanCodeBytes[index] = (byte)Integer.parseInt(strByte, 2);
index++;
}
return huffmanCodeBytes;
}
3.4哈夫曼编码方法封装—数据压缩
//使用一个方法，将前面的方法封装起来，便于我们的调用.
/**
*
* @param bytes 原始的字符串对应的字节数组
* @return 是经过 赫夫曼编码处理后的字节数组(压缩后的数组)
*/
private static byte[] huffmanZip(byte[] bytes) {
List<Node> nodes = getNodes(bytes);
//根据 nodes 创建的赫夫曼树
Node huffmanTreeRoot = createHuffmanTree(nodes);
//对应的赫夫曼编码(根据 赫夫曼树)
Map<Byte, String> huffmanCodes = getCodes(huffmanTreeRoot);
//根据生成的赫夫曼编码，压缩得到压缩后的赫夫曼编码字节数组
byte[] huffmanCodeBytes = zip(bytes, huffmanCodes);
return huffmanCodeBytes;
}
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