函数局部有界性定理_函数连续性（四）---连续性的性质

前面介绍了函数连续性的定义，间断点的类型以及相应的例题。我们知道函数有单调性、最值性、奇偶性等，那么对于函数连续是否也有性质，接下来探讨函数连续性的性质。

一、连续函数的局部性质

若函数

在

处连续，则

在点

有极限，且极限值等于函数值。

定理1：（局部有界性）若函数

在点

连续，则

在某

上有界。

定理2：（局部保号性）若函数

在点

连续，且

,则对任何正数

。存在某

使得对一切

有

（注：在具体应用保号性时，常取

,则当

时，存在某

，使其在内部有

,在这里遇见需要利用局部保号性的题时，一定要注意r的选取）

定理3：（四则运算）若函数

和

都在点

连续，则

也都在

处连续。

对于该定理的证明相对来说比较简单，这里就不展开证明。

定理4：（复合函数的连续性）若函数

在点

连续，

都在点

连续,

,则复合函数

在点

连续.

证明：因为函数 都在点

连续

所以对任意正数

，存在

,则有

又因为

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