第一节 矩阵及其运算
一．数学概念
定义1.1 由 
个数 
排成m行n列的数表
称为m行n列的矩阵，简称 矩阵，记作
二．原理，公式和法则
1．矩阵的加法
(1) 公式
(2) 运算律
2．数乘矩阵
(1) 公式
(2) 运算律
3．矩阵与矩阵相乘
(1) 设 
,
则 
其中 
，且
。
(2)运算符(假设运算都是可行的)：
(3)方阵的运算
注意：①矩阵乘法一般不满足交换律。
②一般 
4.矩阵的转置
(1)公式
这里 
为A的转置矩阵。
(2)运算律
5.方阵的行列式
(1)公式
设A为n阶方阵， 
为A的行列式。
(2)运算律
6.共轭矩阵
(1)公式 设 
为复矩阵， 
表示为 
的共轭复数，则 
为方阵的共轭矩阵。
(2)运算律(设A,B为复矩阵， 
为复数，且运算都是可行的)：
三.重点，难点分析
本节的重点就是矩阵的各运算及其运算律。它是矩阵运算的基础，其难点是矩阵的乘法，着重掌握矩阵的运算规律。
四.典型例题
例1.已知
解：将(1),(2)等式两边相加得 
所以
例2.设 
解：由于
而
第二节 逆矩阵
一.数学概念
定义2.1设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使 
，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵称为A的逆矩阵。
1.可逆矩阵又称为非奇异矩阵。
2.不可逆矩阵又称为奇异矩阵。
二.原理，公式和法则
1. 定理2.1方阵A可逆的充分必要条件是 
,且 
，其中
为A的伴随矩阵。
推论若AB＝E(或BA=E)则B＝A-1。
性质逆矩阵是唯一的。
2.运算律
① 若A可逆，则A-1亦可逆，且 
。
② 若A可逆，数 
,则λA可逆，且 
。
③ 若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且 
④ 若A可逆，则AT亦可逆，且 
三.重点，难点分析
可逆矩阵的求逆既是本节的重点，也是本节的难点，它也是本章的重点。这是因为求逆矩阵它不仅可以解n个方程n个未知数方程组的求解，也可以解矩阵方程，而且在今后的学习中还要经常遇到求逆矩阵的计算。由关系式求逆和抽象矩阵的求逆对初学者来说是比较困难的。
四.典型例题
例1. 设A为n阶方阵，若 
,试证A-E可逆，并求x。
证明 由 ，得 
，在此两端同加单位矩阵得
例2.设
E为4阶单位矩阵，且 
,求 
。
解：在 的两边左乘(E+A)得，
例3.设矩阵A的伴随矩阵
,
且 
,其中E为4阶单位矩阵，求B。
解：在 左乘A＊，右乘A得
第三节 分块矩阵
一.数学概念
分块矩阵：用若干条横线和竖线将矩阵A分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵为分块矩阵。
二.原理，公式，法则
1. 分块矩阵的加法
设A，B为同型矩阵，分法相同，对应子块相加，即将 
矩阵A，B分块为
2. 分块矩阵的数乘
设A为分块矩阵， 
为数，
3. 分块矩阵的乘法
设 
，分块为
其中 
的列数分别等于 
的行数，那末
其中 
4. 分块矩阵的转置
设
5. 分块对角矩阵
都是方阵。
注 1. 以上分块矩阵运算律与矩阵的相应的运算律相同。
2. 对分块对角矩阵有
三. 重点，难点分析
本节的重点是分块矩阵的按行分块或按列分块或分块成对角矩阵。这对讨论矩阵与向量组的关系;讨论线性方程组的解是非常有用的。难点是分块矩阵的乘法。熟练掌握分块矩阵的乘法和分块对角矩阵的各种运算是非常必要的。
四.典型例题
例1.设
,求A-1。
解：
由于
所以
例2. 设矩阵
求A+B和AB
解：由A的特点，可将A分块为
B按运算要求分块为
于是
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