详解高级数据结构之 跳表

目录

一、跳表的介绍

二、跳表的数据结构图

三、跳表的查找

四、跳表是不是很浪费内存?

五、跳表高效的动态插入和删除

跳表索引动态更新

 六、跳表的特性

七、小结

八、C++实现简易跳表


一、跳表的介绍

在学习跳表之前我们要知道什么是跳表?

其实,简单来说,跳表其实是一种多层的有序链表。跳表来源于链表,在链表的基础上结合了二分的思想进行改造,我们把改造之后的数据结构叫做跳表(Skip list)。

我们知道:二分查找针对的有序数组,时间复杂度是o(logn)。如果是有序链表,查询和插入的的时间复杂度是o(n)。跳表就是链表的“二分查找”。redis的有序集合用的就是跳表算法。

跳表的做法就是给链表做索引,而且是分层索引,第一层索引是n/2个,第二层的索引是n/4个,第三层索引是n/8个,即每隔两个数据就记下个索引,索引对象记录了三个数据,一个是要比对的数据值,一个是索引的下一个索引,还有就是索引下方对应的索引或链表。

跳表的第k级的索引个数是n/(2的k次方),计算跳表的时间复杂度过程:索引层数*索引每层查找个数,如果每隔2个数据做索引,那么每层查找个数就是3,假设索引层数为h,n/(2的h次方)= 2,即最上面索引一定是2个,得到h = logn – 1,即h = logn,而每层最多查找3次,所以总次数=h * 3,即3logn,去掉常量3,即为logn。 

跳表是需要建立索引的,大概建立n个索引,是用空间换时间的典型算法,只不过跳表所需要的空间不是链表中存储的数据对象,它只需要上述中的3个值即可,真实场景中可能空间损耗很小的,相对于存储的数据对象而言。 建立索引可以每隔2个数据建立索引,也可以隔3个或5个,时间复杂度是5logn,空间复杂度是n/2了,如果n不大,差距并不大,但是可以灵活调整,毕竟隔的数大了,空间损耗小了,时间长了,即有效的平衡内存占用及查询效率。 跳表的动态插入和删除也会变得高效起来,也是logn,但是有个问题,动态插入数据后,数据个数发生变化,需要更新索引,如何更新索引是门学问,这里redis采用了随机函数办法,比如要插入数据6,那么通过随机函数生成需要动态建立索引的层数,比如4,这时从链表向索引上方数4层,每层都建立一个新的索引6即可。

二、跳表的数据结构图

三、跳表的查找

算法的执行效率可以通过时间复杂度来度量,我们知道,在一个单链表中查询某个数据的时间复杂度是 O(n)。那在一个具有多级索引的跳表中,查询某个数据的时间复杂度是多少呢?

这个时间复杂度的分析方法比较难想到。我把问题分解一下,先来看这样一个问题,如果链表里有 n 个结点,会有多少级索引呢?

在跳表中,每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点,那第一级索引的结点个数大约就是 n/2,第二级索引的结点个数大约就是 n/4,第三级索引的结点个数大约就是 n/8,依次类推,也就是说,第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2,那第 k级索引结点的个数就是 n/(2的k次方)。

假设索引有 h 级,最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式,我们可以得到 n/(2h)=2,从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层,整个跳表的高度就是 log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候,如果每一层都要遍历 m 个结点,那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。

那m到底是多少呢,假设我们要查找的数据是 x,在第 k 级索引中,我们遍历到 y 结点之后,发现 x 大于 y,小于后面的结点 z,所以我们通过 y 的 down 指针,从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中,y 和 z 之间只有 3 个结点(包含 y 和 z),所以,我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点,依次类推,每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。

过上面的分析,我们得到 m=3,所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的,这也体现了空间换时间的效率之高。

四、跳表是不是很浪费内存?

比起单纯的单链表,跳表需要存储多级索引,肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢?我们来分析一下跳表的空间复杂度。

假设原始链表大小为 n,那第一级索引大约有 n/2 个结点,第二级索引大约有 n/4 个结点,以此类推,每上升一级就减少一半,直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来,就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以,跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说,如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表,我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

实际上,在软件开发中,我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时,我们习惯性地把要处理的数据看成整数,但是在实际的软件开发中,原始链表中存储的有可能是很大的对象,而索引结点只需要存储关键值和几个指针,并不需要存储对象,所以当对象比索引结点大很多时,那索引占用的额外空间就可以忽略了。也就是说,当存储对象占用的内存很大时,指针占据的内存就可以忽略不计了。

五、跳表高效的动态插入和删除

跳表不仅支持查找操作,还支持动态的插入、删除操作,而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。

在单链表中,一旦定位好要插入的位置,插入结点的时间复杂度是很低的,就是 O(1)。但是,这里为了保证原始链表中数据的有序性,我们需要先找到要插入的位置,这个查找操作就会比较耗时。

对于纯粹的单链表,需要遍历每个结点,来找到插入的位置。但是,对于跳表来说,我们讲过查找某个结点的时间复杂度是 O(logn),所以这里查找某个数据应该插入的位置,方法也是类似的,时间复杂度也是 O(logn)。下面这张图中可以很清晰地看到插入的过程:

 对于跳表的删除操作,如果这个结点在索引中也有出现,我们除了要删除原始链表中的结点,还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点,然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候,一定要获取前驱结点。当然,如果我们用的是双向链表,就不需要考虑这个问题了。

跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时,如果我们不更新索引,就有可能出现某 两个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下,跳表还会退化成单链表。

 作为一种动态数据结构,我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡,也就是说,如果链表中结点多了,索引结点就相应地增加一些,避免复杂度退化,以及查找、插入、删除操作性能下降。

 跳表是通过随机函数来维护它的“平衡性”。

当我们往跳表中插入数据的时候,我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。而我们通过一个随机函数,来决定将这个结点插入到哪几级索引中,比如随机函数生成了值 K,那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

 六、跳表的特性

  1. 跳表的本质是一个多层的有序链表,同时结合了二分和链表的思想;
  2. 由很多层索引组成,每一层索引是通过随机函数随机产生的,每一层都是一个有序的链表,默认是升序 ;
  3. 最底层的链表包含所有元素;
  4. 如果一个元素出现在第i层的链表中,则它在第i层之下的链表也都会出现;
  5. 跳表的每个节点包含两个指针,一个指向同一链表中的下一个元素,一个指向下面一层的元素。

七、小结

跳表使用空间换时间的设计思路,通过构建多级索引来提高查询的效率,实现了基于链表的“二分查找”。跳表是一种动态数据结构,支持快速地插入、删除、查找操作,时间复杂度都是 O(logn)。

跳表的空间复杂度是 O(n)。不过,跳表的实现非常灵活,可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗。

八、C++实现简易跳表

#include<iostream>
#include<ctime>
using namespace std;

const int MAXN_LEVEL=10;

struct SNode
{
	int key;
	SNode *forword[MAXN_LEVEL];
};

struct SkipList
{
	int nowLevel; 
	SNode *head;
};



/************************************************
*参数:myList为指向跳表头结点的指针
*功能:初始化跳表
*************************************************/
void InitSkipList(SkipList *& myList)
{
	 myList=new SkipList;
	 myList->nowLevel=0;
	 myList->head=new SNode;
	 for(int i=0;i<MAXN_LEVEL;i++)
		 myList->head->forword[i]=NULL;
}

/************************************************
*参数:myList为指向跳表头结点的指针,x为待插入元素,countRet为查找次数
*功能:在跳表中插入元素x
*************************************************/
bool InsertSkipList(SkipList *myList,int val)
{
	if(NULL==myList)
		return false;
	int k=myList->nowLevel;
	SNode *q,*p=myList->head;
	SNode *upDateNode[MAXN_LEVEL];
	while(k>=0)
	{
		q=p->forword[k];
		while(NULL!=q&&q->key<val)
		{
			p=q;
			q=p->forword[k];
		}
		if(NULL!=q&&q->key==val)
		     return false;
		upDateNode[k]=p;
		--k;
	}
	k=rand()%(MAXN_LEVEL-1);
	if(k>myList->nowLevel)
	{
		k=++myList->nowLevel;
		upDateNode[k]=myList->head;
	}
	p=new SNode;
	p->key=val;
	for(int i=0;i<=k;i++)
	{
		q=upDateNode[i];//q指向前面小于x的
		p->forword[i]=q->forword[i];
		q->forword[i]=p;
	}
	//for(int i=k+1;i<=myList->nowLevel;i++)
	 for(int i=k+1;i<MAXN_LEVEL;i++)
	        p->forword[i]=NULL;
	return true;
}

/************************************************
*参数:myList为指向跳表头结点的指针,x为待查找元素,countRet为查找次数
*功能:查找跳表中是否存在元素x
*************************************************/
SNode* FindSkipList(SkipList * myList,int val,int &countRet)
{
	if(NULL==myList)
		return NULL;

	int k=myList->nowLevel;
	SNode *q,*p=myList->head;
	while(k>=0)
	{
		q=p->forword[k];
		++countRet;
		while(NULL!=q&&q->key<val)
		{
			++countRet;
			p=q;
			q=p->forword[k];
		}
		if(NULL!=q&&q->key==val)
		    return q;
		--k;
	}
	return NULL;
}

/************************************************
*参数:myList为指向跳表头结点的指针,x为待删除元素
*功能:删除跳表中元素x
*************************************************/
bool DeleteSkipList(SkipList * myList,int val)
{
	int tmpCountRet=0;
	SNode *ret=FindSkipList(myList,val,tmpCountRet);
	if(NULL==ret)
		return false;

	int k=myList->nowLevel;
	SNode *q,*p=myList->head;
	SNode *upDateNode[MAXN_LEVEL];

	 for(int i=0;i<MAXN_LEVEL;i++)
		upDateNode[i]=NULL;
	
	while(k>=0)
	{
		q=p->forword[k];
		while(NULL!=q&&q->key<val)
		{
			p=q;
			q=p->forword[k];
		}
		if(NULL!=q&&q->key==val)
			 upDateNode[k]=p;
		--k;
	}

	for(int i=0;i<=myList->nowLevel;i++)
	{
		q=upDateNode[i];//q指向前面小于x
		if(NULL!=q&&q->forword[i]==ret)
			q->forword[i]=ret->forword[i];
	}
	delete ret;
	return true;
}



int main()
{
	int val;
	SkipList *  myList;
	InitSkipList(myList);

	while(cin>>val)
	{
		if(!InsertSkipList(myList,val))
			cout<<val<<"插入失败!"<<endl;
		else cout<<val<<"插入成功!"<<endl;
		
		int countRet=0;
		if(NULL!=FindSkipList(myList,val,countRet))
			cout<<val<<"查找成功!"<<endl;
		else cout<<val<<"查找失败!"<<endl;
		cout<<"共查找了"<<countRet<<"次"<<endl;
		
		DeleteSkipList(myList,val);
		countRet=0;
		if(NULL!=FindSkipList(myList,val,countRet))
			cout<<val<<"查找成功!"<<endl;
		else cout<<val<<"查找失败!"<<endl;
		cout<<"共查找了"<<countRet<<"次"<<endl;
		

	}
	system("Pause");
}


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