python 求两条曲线的交点_圆锥曲线之双曲线篇

（一）定义

1.第一定义：平面内到两定点

、

的距离的差的绝对值等于常数

，即

的动点

的轨迹叫做双曲线。

焦点在x轴上：

焦点在y轴上：

实轴=

,虚轴=

，焦距=

2.第二定义：平面内到定点

（即焦点）的距离和到定直线

（

不在

上）的距离之比为常数

的点P的轨迹是双曲线。

准线（即定直线）=

（焦点在x轴或y轴上均相同）

3.第三定义

双曲线第三定义：A、B两点关于原点对称（特殊的，AB为实轴），M是异于A、B的点，若

的值为定值ｍ（ｍ＞０），则点M的轨迹是一个双曲线。

注：A，B是双曲线上的点

（二）性质

1.取值范围：焦点在x轴上时，

。

2.对称性：对称轴（实轴、虚轴）为x轴和y轴，对称中心为原点

。

3.焦半径：焦点在x轴上时，

（

分别为左右焦点）；焦点在y轴上时，

（

分别为上下焦点）。

4.通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与双曲线的两交点A，B之间的距离，即

，半通径

5.离心率：

。

6.渐近线：焦点在x轴：

；焦点在y轴：

。

（三）双曲线的相关结论

1.参数方程：

求解双曲线上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解

2.双曲线中，记焦点三角形的底角分别为

和

则该双曲线的离心率为

（其中

＞0）

3.焦点三角形：对于点M处 ，

4.标准形式的双曲线在

点的切线就是 ：

，双曲线切线的斜率是

。

6.如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为

。

7.双曲线与直线交于

两点，弦长公式

。

这个公式适用于所有圆锥曲线。

（四）等轴双曲线、共轭双曲线

1.等轴双曲线：

• 双曲线的实半轴与虚半轴长相等，即：
  
• 离心率：
  。
• 其渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）

2.共轭双曲线：

• 双曲线
  的实轴是双曲线
  的虚轴且双曲线
  的虚轴是双曲线
  的实轴，则称双曲线
  与双曲线
  互为共轭双曲线。
• 其中，
  ，
  
• 双曲线
  与
  共渐近线
• 与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点；
• 与
  焦距相等
• 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1，即
  。

证明：

，

,

则