题目描述

假设把整个棋盘放入第一象限，棋盘的最左下角是（0,0）位置，整个棋盘就是横坐标上10条线，纵坐标上9条线的区域，给出三个参数x,y,k；

返回“马”从(0,0)位置出发，必须走K步，最终落在（x,y）上的方法数有多少种？

比如：K = 10;x = 7;y = 7 ,返回多少种方法？

题目解析

暴力递归

马在一个位置可以有八种选择

当小马在一个位置时：

• 第一步：判断当前位置是否合法，如果不合法，返回0（表示不可能到达目的地）
• 第二步：如果当前没有步数了，此时判断是否已经到达了指定位置，如果是，那么返回1
• 第四步：否则，有8个方向可以选择，将这些方法全部加起来就是最终答案

代码如下：

class Solution {
    // 当前来到的位置是（x,y）还剩下rest步需要跳
    // 跳完rest步，正好跳到a，b的方法数是多少？
 	// 横坐标上10条线，纵坐标上9条线的区域
    int process(int x, int y, int rest, int a, int b) {
        if (x < 0 || x > 9 || y < 0 || y > 8) {
            return 0;
        }
        if (rest == 0) {
            return (x == a && y == b) ? 1 : 0;
        }
        int ways = process(x + 2, y + 1, rest - 1, a, b);
        ways += process(x + 1, y + 2, rest - 1, a, b);
        ways += process(x - 1, y + 2, rest - 1, a, b);
        ways += process(x - 2, y + 1, rest - 1, a, b);
        ways += process(x - 2, y - 1, rest - 1, a, b);
        ways += process(x - 1, y - 2, rest - 1, a, b);
        ways += process(x + 1, y - 2, rest - 1, a, b);
        ways += process(x + 2, y - 1, rest - 1, a, b);
        return ways;
    }
    
public :
    int jump(int a, int b, int k) {
        return process(0, 0, k, a, b);
    }
};

测试：

   std::cout << a.jump(2, 3, 3);  //4

暴力递归改备忘录

我们来分析下递归函数的可变参数与变化范围

  int process(int x, int y, int rest, int a, int b) 

这里的可变参数有x、y、rest，一共有三个，说明要准备一个三维数组

横坐标上9条线，纵坐标上10条线的区域，因此$cache[9][10][K+1]$

class Solution {
    // 当前来到的位置是（x,y）还剩下rest步需要跳
    // 跳完rest步，正好跳到a，b的方法数是多少？
    int process(int x, int y, int rest, int a, int b,  std::vector<std::vector<std::vector<int>>> cache) {
        if (x < 0 || x > 9 || y < 0 || y > 8){
            return 0;
        }
        if(cache[x][y][rest] != -1){
            return cache[x][y][rest];
        }
        if (rest == 0) {
            return (x == a && y == b) ? 1 : 0;
        }
        int ways = process(x + 2, y + 1, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x + 1, y + 2, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x - 1, y + 2, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x - 2, y + 1, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x - 2, y - 1, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x - 1, y - 2, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x + 1, y - 2, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x + 2, y - 1, rest - 1, a, b, cache);
        cache[x][y][rest] = ways;
        return cache[x][y][rest];
    }

public :
    int jump(int a, int b, int k) {

        std::vector<std::vector<std::vector<int>>> cache(10,
                std::vector<std::vector<int>>(9,
                        std::vector<int>(k + 1, -1)));
        return process(0, 0, k, a, b, cache);
    }
};

int main(){
   // printf("%d\r\n",  Fab(4));


   Solution a;
   vector<int> nums {1, 2, 3, 1};

   std::cout << a.jump(2, 3, 7);

}

暴力递归改动态规划

（1）准备一张表，递归函数的可变参数与变化范围

  int process(int x, int y, int rest, int a, int b) 

这里的可变参数有x、y、rest，一共有三个，说明要准备一个三维数组

• x取值范围为：0~10
• y取值范围为：0~9
• rest取值范围为：0~k

所以，准备数组如下：

std::vector<std::vector<std::vector<int>>> dp(10,
                std::vector<std::vector<int>>(9,
                        std::vector<int>(k + 1, 0)));

（2）返回值。分析主函数是如何调用递归函数的

        return process(0, 0, k, a, b, cache);

所以应该返回：dp[0][0][k]

（3）填表
（3.1）第一步，应该确保参数合法

 if (x < 0 || x > 9 || y < 0 || y > 8){
            return 0;
        }

（3.2）第二步，使用base case来初始化这张表

	   if (rest == 0) {
            return (x == a && y == b) ? 1 : 0;
        }

• 此时k为0，也就是初始化最底层的那个平面的某个点，也就是dp[a][b][0] = 1

（3.3）分析普通情况。由

   int ways = process(x + 2, y + 1, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x + 1, y + 2, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x - 1, y + 2, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x - 2, y + 1, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x - 2, y - 1, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x - 1, y - 2, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x + 1, y - 2, rest - 1, a, b, cache);
        ways += process(x + 2, y - 1, rest - 1, a, b, cache);

上一层的dp[x][y][k]依赖下一层平面的八个方向dp[?][?][k-1]，当然我们必须确保[?][?]合法

所以，先从k调度，再填写xy

class Solution {

    int pick(std::vector<std::vector<std::vector<int>>> &dp, int x, int y, int rest) {
        if (x < 0 || x > 9 || y < 0 || y > 8){
            return 0;
        }
        return dp[x][y][rest];
    }


public :
    int jump(int a, int b, int k) {
        std::vector<std::vector<std::vector<int>>> dp(10,
                                                         std::vector<std::vector<int>>(9,
                                                                                       std::vector<int>(k + 1, 0)));
        dp[a][b][0] = 1;
        for (int rest = 1; rest <= k; ++rest) {
            for (int x = 0; x < 10; ++x) {
                for (int y = 0; y < 9; ++y) {
                    int ways = pick(dp, x + 2, y + 1, rest - 1);
                    ways += pick(dp, x + 1, y + 2, rest - 1);
                    ways += pick(dp, x - 1, y + 2, rest - 1);
                    ways += pick(dp, x - 2, y + 1, rest - 1);
                    ways += pick(dp, x - 2, y - 1, rest - 1);
                    ways += pick(dp, x - 1, y - 2, rest - 1);
                    ways += pick(dp, x + 1, y - 2, rest - 1);
                    ways += pick(dp, x + 2, y - 1, rest - 1);
                    dp[x][y][rest] = ways;
                }
            }
        }
        return dp[0][0][k];
    }
};