伴随矩阵和原矩阵的关系

r(A)=n，则|A|≠0，|A||A*|=1，|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n
r(A)=n-1，则rank A*>=1，AA*=0，rank(A*)=1
r(A)<n-1，则A的代数余子式都为零，A*=0，r(A*)=0

$$A{A}^{\ast }=|A|E,对式子两边取行列式，可得|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$
如果AB=O,那么r(A)+r(B)<=n (n为A的列数,B的行数)

因为AA*=|A|E=O；所以A*的列向量都是AX=0的解。
所以：A的列向量可由AX=0的基础解系线性表示。
所以r(A)<=AX=0的基础解系的秩=n-r(A)。故有r(A)+r(A*)<=n.
然后可推广到一般情况：若AB=0,A,B分别是m行n列,n行s列矩阵，则r(A)+r(B)<=n。

更进一步的R(AB)+n＞=R(A)+R(B)

由伴随矩阵求原矩阵(当伴随矩阵的秩不为零时)

$$A=(\frac{A\ast }{|A|}{)}^{-1}=|A{|}^{\ast }(A^{\ast }{)}^{-1}=\sqrt[n-1]{|A{|}^{\ast }}(A^{\ast }{)}^{-1}$$
伴随矩阵计算：代数余子式矩阵–的--转置