【题解&刷题总结】摆渡车（斜率优化dp）

题目描述

有 ? 名同学要乘坐摆渡车从人大附中前往人民大学，第 ? 位同学在第 ?? 分钟去等车。只有一辆摆渡车在工作，但摆渡车容量可以视为无限大。摆渡车从人大附中出发、把车上的同学送到人民大学、再回到人大附中（去接其他同学），这样往返一趟总共花费 ? 分钟（同学上下车时间忽略不计）。摆渡车要将所有同学都送到人民大学。
凯凯很好奇，如果他能任意安排摆渡车出发的时间，那么这些同学的等车时间之和最小为多少呢？
注意：摆渡车回到人大附中后可以即刻出发。

输入

输入文件名为 bus.in。
第一行包含两个正整数 ?，m，以一个空格分开，分别代表等车人数和摆渡车往返一趟的时间。
第二行包含 ? 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔，第 i 个非负整数 ?? 代表第 i 个同学到达车站的时刻。

输出

输出文件名为 bus.out。
输出一行，一个整数，表示所有同学等车时间之和的最小值（单位：分钟）。

样例输入1

5 1
3 4 4 3 5

样例输出1

0

【输入输出样例 1 说明】
同学 1 和同学 4 在第 3 分钟开始等车，等待 0 分钟，在第 3 分钟乘坐摆渡车出发。摆渡车在第 4 分钟回到人大附中。
同学 2 和同学 3 在第 4 分钟开始等车，等待 0 分钟，在第 4 分钟乘坐摆渡车出发。摆渡车在第 5 分钟回到人大附中。
同学 5 在第 5 分钟开始等车，等待 0 分钟，在第 5 分钟乘坐摆渡车出发。自此所有同学都被送到人民大学。总等待时间为 0。

样例输入2

5 5
11 13 1 5 5

样例输出2

4

【输入输出样例 2 说明】
同学 3 在第 1 分钟开始等车，等待 0 分钟，在第 1 分钟乘坐摆渡车出发。摆渡车在第 6 分钟回到人大附中。
同学 4 和同学 5 在第 5 分钟开始等车，等待 1 分钟，在第 6 分钟乘坐摆渡车出发。摆渡车在第 11 分钟回到人大附中。
同学 1 在第 11 分钟开始等车，等待 2 分钟；同学 2 在第 13 分钟开始等车，等待 0 分钟。他/她们在第 13 分钟乘坐摆渡车出发。自此所有同学都被送到人民大学。
总等待时间为 4。可以证明，没有总等待时间小于 4 的方案。

数据范围限制

对于 10% 的数据，$n\le 10,m=1,0\le t_i\le 100$。
对于 30% 的数据，$n\le 20,m\le 2,0\le t_i\le 100$。
对于 50% 的数据，$n\le 500,m\le 100,0\le t_i\le 10^4$。
另有 20% 的数据，$n\le 500,m\le 10,0\le t_i\le 4\times 10^6$。
对于 100% 的数据，$n\le 500,m\le 100,0\le t_i\le 4\times 10^6$。

题解&思路

本题采取动态规划的方法实现。
我们设 $f_i$ 表示第 $i$ 分钟同学的最小等车时间
我们考虑如何转移
我们可以枚举一个 $j$ ，使得 $j$ 之前的已经全部过河，现在后面的在 $i$ 时刻过河。
设 $S_i$ 表示 $i$ 时刻之前 $t$ 的总和，$C_i$ 表示 $i$ 时刻之前有多少个人到车站。
那么转移方程是：
$f_i=min(f_j+i(C_i-C_j)-(S_i-S_j))$
但是，我们注意到 $0\le t_i\le 4\times 10^6$，这样的时间复杂度只能过掉50分的数据，我们想想怎么优化？
很明显，我们需要用斜率优化
若 $j$ 比 $k$ 优，则
$f_j+i(C_i-C_j)+(S_i-S_j)<f_k+i(C_i-C_k)-(S_i-S_k)$
最终优化为：
$\frac{(f_j+S_j)-(f_k+S_k)}{C_j-C_k}<i$
则对于一个点 $i$ ，它在平面上的坐标为 $(C_i,F_i+S_i)$
然后我们就可以用单调队列去愉快地维护下凸包了。

$Code$

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=505;
int n,m,h,t;
ll ans,mn=1e18,sum;
ll ti[N],s[5000005],f[5000005],c[5000005],d[5000005];
double X(int x){
	return c[x];
}
double Y(int x){
	return (double)(f[x]+s[x]);
}
double slope(int i,int j){
	if (X(i)==X(j)) return (double)((Y(j)-Y(i))/(1e-18));//important
	return (Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i));
}
int main(){
	//freopen("bus.in","r",stdin);
	//freopen("bus.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&ti[i]);
		s[ti[i]]+=ti[i];
		c[ti[i]]++;
		mn=min(mn,ti[i]);
		sum=max(sum,ti[i]);
	}
	for (int i=0;i<sum+m;i++)
		c[i]+=c[i-1],s[i]+=s[i-1];
	ans=1e18;
	f[mn]=0;
	h=1;t=0;
    for(int i=mn+1;i<sum+m;i++){
        if(i-m>=0){
            while(h<t&&slope(d[t-1],d[t])>=slope(d[t-1],i-m)) --t;
            d[++t]=i-m;
        }
        while(h<t&&slope(d[h],d[h+1])<=i) ++h;
        int j=d[h];
        if(h<=t) f[i]=f[j]+(c[i]-c[j])*i-(s[i]-s[j]);
        else f[i]=c[i]*i-s[i];
		if (i>=sum)
			ans=min(ans,f[i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}