N维球的体积计算
Thursday, December 2, 2021 7:56 PM
本内容来源于Pathria的统计力学
N维球满足如下方程：∑ i = 1 n x i 2 = R 2 \sum\limits_{i =1}^{n}x_{i}^{2} = R^{2}i=1∑nxi2=R2
通过量纲分析我们可以得出V n = C n R n V_{n} = C_{n}R^{n}Vn=CnRn，相应的N维球的表面积可以通过d V n = S n d R dV_{n} = S_{n}dRdVn=SndR得出：S n = d V n d R = n C n R n − 1 S_{n} = \frac{dV_{n}}{dR}=nC_{n}R^{n-1}Sn=dRdVn=nCnRn−1
为了后面记得计算我们引入一个积分：
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π 1 / 2 \int\limits_{- \infin}^{\infin}e^{-x^{2}}dx =\pi^{1/2}−∞∫∞e−x2dx=π1/2
为了证明这个公式我们引入一个e − y 2 e^{-y^{2}}e−y2
∬ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y \iint\limits_{- \infin}^{\infin}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy \\−∞∬∞e−(x2+y2)dxdy
将坐标变换为极坐标:
x = r c o s θ y = r s i n θ x = r cos\theta\\ y = r sin\thetax=rcosθy=rsinθ
体元的变换可以用Jacobi行列式计算则：
d x d y = ∣ c o s θ − r s i n θ s i n θ r c o s θ ∣ d r d θ dxdy = \begin{vmatrix} cos\theta&-rsin\theta\\ sin\theta&rcos\theta \end{vmatrix} drd\thetadxdy=∣∣∣∣cosθsinθ−rsinθrcosθ∣∣∣∣drdθ
即d x d y = r d r d θ dxdy = rdrd\thetadxdy=rdrdθ因此积分等式可以化作为：
∫ 0 ∞ e − r 2 r d r ∫ 0 2 π d θ = 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r = 2 π ⋅ ( − 1 2 e − r 2 ) ∣ 0 ∞ \int\limits^{\infin}_{0}e^{-r^{2}}rdr\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi \int\limits_{0}^{\infin}e^{-r^{2}}rdr=2\pi \cdot (-\frac{1}{2}\left. e^{-r^{2}})\right|_{0}^{\infin}0∫∞e−r2rdr∫02πdθ=2π0∫∞e−r2rdr=2π⋅(−21e−r2)∣∣∣0∞
得到的结果为π \piπ，其实际上就是我们所求东西的平方。
因此我们有：
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π 1 / 2 \int\limits_{- \infin}^{\infin}e^{-x^{2}}dx =\pi^{1/2}−∞∫∞e−x2dx=π1/2
计算到这里我们岔开一下主题引入一个新的知识点gamma functionΓ ( z ) \Gamma(z)Γ(z)
Γ ( z ) 定义为 ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x \Gamma(z)\text{定义为}\int_{0}^{\infin}x^{z-1}e^{-x}dxΓ(z)定义为∫0∞xz−1e−xdx
其中对z的要求是实部为正数即可。将∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x \int_{0}^{\infin}x^{z-1}e^{-x}dx∫0∞xz−1e−xdx分部积分我们可以得到：
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x = [ − x z − 1 e − x ] 0 ∞ + ∫ 0 ∞ ( z − 1 ) x z − 2 e − x d x = ( z − 1 ) Γ ( z − 1 ) = ( z − 1 ) ! Γ ( 1 ) \begin{aligned} \Gamma(z) &=\int_{0}^{\infty} x^{z-1} e^{-x} d x \\ &=\left[-x^{z-1} e^{-x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} (z-1) x^{z-2} e^{-x} d x\\ & = (z-1)\Gamma(z-1)\\ & = (z-1)! \Gamma(1) \end{aligned}Γ(z)=∫0∞xz−1e−xdx=[−xz−1e−x]0∞+∫0∞(z−1)xz−2e−xdx=(z−1)Γ(z−1)=(z−1)!Γ(1)
由于Γ ( 1 ) = 1 \Gamma(1) = 1Γ(1)=1，则Γ ( z ) = ( z − 1 ) ! \Gamma(z) = (z-1)!Γ(z)=(z−1)!
前面的计算实际上也计算了Γ ( 1 2 ) = π 1 / 2 \Gamma(\frac{1}{2}) = \pi^{1/2}Γ(21)=π1/2
回到正题:这里因此有:
π n / 2 = ∬ … ∬ − ∞ ∞ e ∑ i = 1 N ( − x i 2 ) ∏ i = 1 n ( d x i ) = ∫ 0 ∞ exp ( − R 2 ) n C n R n − 1 d R = n C n 1 2 Γ ( n 2 ) = ( n 2 ) ! C n \begin{aligned} \pi^{n / 2} &=\iint \ldots \iint_{-\infty}^{\infty} e^{\sum_{i=1}^{N}\left(-x_{i}^{2}\right)} \prod_{i=1}^{n}\left(d x_{i}\right)=\int_{0}^{\infty} \exp \left(-R^{2}\right) n C_{n} R^{n-1} d R \\ &=n C_{n} \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)=\left(\frac{n}{2}\right) ! C_{n} \end{aligned}πn/2=∬…∬−∞∞e∑i=1N(−xi2)i=1∏n(dxi)=∫0∞exp(−R2)nCnRn−1dR=nCn21Γ(2n)=(2n)!Cn
因此就可以得出C n = π n / 2 / ( n 2 ) ! C_{n} = \pi^{n/2}/(\frac{n}{2})!Cn=πn/2/(2n)!
即n维球的体积可以表示为：
V n ( R ) = π n / 2 ( n / 2 ) ! R n V_{n}(R)=\frac{\pi^{n / 2}}{(n / 2) !} R^{n}Vn(R)=(n/2)!πn/2Rn