【矩阵论】单射、满射与双射

映射；Mapping

映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素与它对应，那么这样的对应（包括对应法则）叫做集合A到集合B的映射。其中，A中的元素称为原像，B中的元素称为A中元素的像（$image$）。

单射、满射与双射；Injection, surjection and bijection

单射：在英语中称为$injection$或$one$ $to$ $one$。设$A$和$B$是两个非空集合，$F$是一个映射。如果对$B$中任一元素，若$A$中有其原像，则其在$A$中的原像有且仅有一个，就称$F$为一个从$A$到$B$的单射。

即单射只能一对一，不能多对一。

$F：A\to B$ $is$ $injection$ $if$ $and$ $only$ $if$
$\forall a,b\in A$, $Then$ $F(a)=F(b)\Rightarrow a=b$

满射：在英语中称为$surjection$或$onto$。如果每个可能的像至少有一个变量映射其上，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫做满射。

即像集合$B$中的每个元素在$A$中都有一个或一个以上的原像。

$F：A\to B$ $is$ $surjection$ $if$ $and$ $only$ $if$
$\forall b\in B$, $\exists a\in A$ $such$ $that$ $F(a)=b$

双射：在英语中称为为$bijection$。设$A$和$B$是两个非空集合，$F$是一个映射，如果对$B$中任一元素，依照映射$F$，$A$中都有其唯一的原像，就称$F$为一个从$A$到$B$的双射。

即对B中所有的元素，$A$中都存在其唯一原像。

$F：A\to B$ $is$ $bijection$ $if$ $and$ $only$ $if$
$\forall b\in B$, $thereisauniquea\in A$ $such$ $that$ $F(a)=b$

参考资料

[1]百度百科：浅谈对应，映射，单射，双射，满射，函数
[2]维基百科：单射、双射与满射