1、问题分析

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/
可以使用动态规划求解，总体思路就是固定根节点，然后求左右子节点各有多少种情况，将结果相乘，这里注意单位个数为 1。代码我已经进行了详细的注释，理解应该没有问题，读者可以作为参考，如果看不懂(可以多看几遍)，欢迎留言哦！我看到会解答一下。

状态转移方程如下：

$$dp[n]=\{\begin{array}{l}2\times dp[0]\times dp[n-0-1]+2\times dp[1]\times dp[n-1-1]+2\times dp[2]\times dp[n-2-1]+...+dp[\frac{n}{2}]\times dp[\frac{n}{2}],(n\%2==1,\mathrm{i}.\mathrm{e}.\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d})\\ 2\times dp[0]\times dp[n-0-1]+2\times dp[1]\times dp[n-1-1]+2\times dp[2]\times dp[n-2-1]+...+dp[\frac{n}{2}-1]\times dp[\frac{n}{2}-1],(n\%2==0,\mathrm{i}.\mathrm{e}.\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n})\end{array}$$

2、问题解决

笔者以C++方式解决。

#include "iostream"

using namespace std;

#include "algorithm"
#include "vector"
#include "queue"
#include "set"
#include "map"
#include "cstring"
#include "stack"

class Solution {
private:
    // 定义 dp 数组 保存不同 n 为节点组成的二叉搜索树的个数
    // 例如 dp[2] 代表 有1,2 即 2个节点组成的二叉搜索树的个数
    vector<int> dp;
public:
    int numTrees(int n) {
        // 初始化  dp 数组
        dp.resize(n + 1);
        // 这里需要注意的是 不能直接使用 numTrees(n) 进行递归，因为这里涉及到初始化的操作
        // 否则的话，每一次递归，dp 数组大小就会变化
        return deal(n);
    }

    /**
     * 计算  n 为节点组成的二叉搜索树的个数
     * 动态规划状态转移方程为：dp[n] = 2 x dp[0] x dp[n-1] + 2 x dp[1] x dp[n-2] + 2 x dp[2] x dp[n-3] + ... + dp[n/2] x dp[n/2]
     * 总体思路就是固定根节点，然后求左右子节点各有多少种情况，将结果相乘，这里注意单位个数为 1
     * @param n 节点个数
     * @return
     */
    int deal(int n) {
        // 如果节点已经计算过，直接返回
        if (dp[n] != 0) {
            return dp[n];
        }

        // 对应超出边界的直接取单位值即可
        if (n <= 0) {
            dp[0] = 1;
            return 1;
        }

        // 递归边界
        if (n == 1) {
            dp[n] = 1;
            return dp[n];
        }
        else if (n == 2) {
            dp[n] = 2;
            return dp[n];
        }

        // 根据博客上面的详细公式可以写出如下程序
        // 分为奇数和偶数两种情况
        if (n % 2 == 1) {
            for (int i = 0; i <= n / 2; ++i) {
                if (i != n / 2) {
                    // 因为左右两边的对称性，所以需要乘 2
                    dp[n] += 2 * deal(i) * deal(n - i - 1);
                }
                else {
                    // 中间节点 本身就是对称的，只有一种情况
                    dp[n] += deal(i) * deal(n - i - 1);
                }
            }
        }
        else if (n % 2 == 0) {
            for (int i = 0; i < n / 2; ++i) {
                dp[n] += 2 * deal(i) * deal(n - i - 1);
            }
        }

        return dp[n];

    }

};

int main() {
    int n = 3;
    Solution *pSolution = new Solution;
    int i = pSolution->numTrees(n);
    cout << i << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

运行结果

有点菜，有时间再优化一下。

3、总结

书上的代码直接运行绝大部分是对的，但是总有一些软件的更新使得作者无能为力。之前的API是对的，但是之后就废弃了或修改了是常有的事。所以我们需要跟踪源代码。这只是一个小小的问题，如果没有前辈的无私奉献，很难想象我们自己一天能学到多少内容。感谢各位前辈的辛勤付出，让我们少走了很多的弯路！

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