前言

• 在研究定点整数、浮点数除法（尤其是加减交替法）时发现一个问题——商的符号位可以由被除数和除数的符号位异或来确定，余数的符号位呢？
• 例如，我们考察 -5/3 和 5/-3。根据机器内部除法的机制，先将符号位异或，剩余被除数和除数的绝对值进行相除，即两者都是 5/3，得到商为1，余数为2。
• 此时问题出现了，我们知道商的符号位一定是1，即商 = -1，但余数的符号位呢？也可以由被除数和除数的符号位异或来确定吗？
  • -5/3 = -1 … -2
  • 5/-3 = -1 … 2
• 显然，两个式子中余数的符号位不同，不能由被除数和除数的符号位异或来确定
• 如何确定余数的符号位？

结论

• 余数的符号位 = 被除数的符号位

思路

• 观察一些式子，例如：
  • -5/3 = -1 … -2
  • 5/-3 = -1 … 2
  • -5/8 = 0 … -5
  • 5/-8 = 0 … 5
• 容易发现余数的符号位都和被除数相同。
• 是否可以将特殊情况广泛化？下面开始证明这个结论。

证明

• 假设给定的式子是$$a÷b=c...r$$
• 我们知道$$r=a-c\times b$$假定$s=c\times b$
• 由于必然有$|a|>=|s|$，故
  • 若a和s同号，a>0，s>0，则r>0；a<0，s<0，则r<0
  • 若a和s异号，a>0，s<0，则r>0；a<0，s>0，则r<0
• 特殊情况：
  • a = s，则r = 0，此时无需考虑余数符号
• 综上，证毕。