树的定义

树是用来处理一对多的数据结构
树是n(n>=0)个节点的有限集
- n = 0，叫做空树
- n > 0：
  - 根节点是唯一的
  - 子树的个数没有限制，但是一定是不相交的

这里面每个元素我们叫作“节点”；用来连线相邻节点之间的关系，我们叫作“父子关系”。

树的度

节点拥有的子树数量称为节点的度。根据各个节点的度的不同，节点可以分为：
- 叶子节点(Leaf) [也叫做终端节点]：度为0的节点
- 分支节点[也叫做非终端节点]：度不为0
  - 内部节点：除了根节点之外，分支节点也叫做内部节点
树的度是树内各节点的度的最大值

节点间关系

当前节点的子树的根称为该节点的孩子（子节点）
当前节点称为其子节点的双亲【因为当前节点只有一个，所以叫做双亲节点，而不是父/母节点】
同一个双亲的孩子之间互称为兄弟
节点的祖先是从根节点到当前节点所经分支上的所有节点。比如下图，相对于H节点，D，B，A都是它的祖先
以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。比如B的子孙有D，G，H，I

比如下面这幅图，A 节点就是 B 节点的父节点，B 节点是 A 节点的子节点。B、C、D 这三个节点的父节点是同一个节点，所以它们之间互称为兄弟节点。我们把没有父节点的节点叫作根节点，也就是图中的节点 E。我们把没有子节点的节点叫作叶子节点或者叶节点，比如图中的 G、H、I、J、K、L 都是叶子节点。

树的层

节点的层(level)：从根节点开始，根节点为第一层，跟的孩子为第二层。。。 若某节点为第i层，则其子树的跟就在第i+1层
其双亲在同一层的节点互为堂兄弟。比如下图中的，D，E，F是堂兄弟，G，H，I，J是堂兄弟
树中节点的最大层次称为树的深度。比如下图中树的深度为4

高度（Height）、深度（Depth）、层（Level）这三个概念比较难以区分，它们的定义是这样的：

在这里插入图片描述
举个例子：

如何记忆：

在我们生活中，“高度”这个概念，其实就是从下往上度量，比如我们要度量第 10 层楼的高度、第 13 层楼的高度，起点都是地面。所以，树这种数据结构的高度也是一样，从最底层开始计数，并且计数的起点是0
“深度”这个概念在生活中是从上往下度量的，比如水中鱼的深度，是从水平面开始度量的。所以，树这种数据结构的深度也是类似的，从根结点开始度量，并且计数起点也是 0。
“层数”跟深度的计算类似，不过，计数起点是 1，也就是说根节点的位于第 1 层。

树的有序性

如果树中结点的各子树从左向右是有序的，子树间不能互换位置，则称该树为有序树，否则为无序树。

树的表示方法

双亲表示法

取一块连续的内存空间，在层次每个节点的同时，各自都附加一个记录其父节点位置的变量
在树结构中，除了树根外，每个结点都只有一个父结点（又叫“双亲结点”）。

#define tree_size 100//宏定义树中结点的最大数量
#define TElemType int//宏定义树结构中数据类型
typedef struct PTNode{ //节点结构
    TElemType data;//节点数据
    int parent;//双亲位置下标
}PTNode;
typedef struct {  // 树结构
    PTNode nodes[tree_size];//节点数组
    int r,n;//根的位置下标和结点数
}PTree;

例如，使用双亲表示法存储图 1（A）中的树结构时，数组存储结果为（B）：

在这里插入图片描述

当算法中需要在树结构中频繁地查找某结点的父结点时，使用双亲表示法最合适。当频繁地访问结点的孩子结点时，双亲表示法就很麻烦，采用孩子表示法就很简单

孩子表示法

孩子表示法：把每个节点的孩子节点排列起来，以单链表作存储结构，则n个节点有n个孩子链表，如果是叶子节点则单链表为空。然后n个头指针有组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中

#define TElemType int
#define Tree_Size 100
//孩子表示法
typedef struct CTNode{
    int child;//链表中每个结点存储的不是数据本身，而是数据在数组中存储的位置下标
    struct CTNode * next;
}*ChildPtr;
typedef struct {
    TElemType data;//结点的数据类型
    ChildPtr firstchild;//孩子链表的头指针
}CTBox;
typedef struct{
    CTBox nodes[Tree_Size];//存储结点的数组
    int n,r;//结点数量和树根的位置
}CTree;

使用孩子表示法存储的树结构，正好和双亲表示法相反，适用于查找某结点的孩子结点，不适用于查找其父结点。
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双亲孩子表示法

将双亲表示法和孩子表示法结合起来
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孩子兄弟表示法

使用链式存储结构存储普通树。链表中每个结点由 3 部分组成：
在这里插入图片描述
其中孩子指针域，表示指向当前结点的第一个孩子结点，兄弟结点表示指向当前结点的下一个兄弟结点。

#define ElemType int
typedef struct CSNode{
    ElemType data;
    struct CSNode * firstchild,*nextsibling;
}CSNode,*CSTree;

通过孩子兄弟表示法，普通树转化为了二叉树，所以孩子兄弟表示法又被称为“二叉树表示法”或者“二叉链表表示法”。
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常见树

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二叉搜索树的节点放置规则是：任何节点的键值一定大于其左子树中的每一个节点的键值，并小于其右子树中的每一个节点的键值。因此：
- 从根节点一直往左走，直到无左路可走，就可以得到最小元素
- 从根节点一直往右走，直到无右路可走，就可以得到最大元素
二叉搜索树(binary search tree)可以提供对数时间的元素插入和访问。
- 访问元素很简单
- 麻烦的是插入和删除

平衡二叉搜索树

如果输入值不够随机，或者经过某些插入和删除操作，二叉搜索数可能会失去平衡，导致效率低下。
为此，引入了平衡二叉树，包括AVL-tree、RB-tree、AA-tree等。

比较

树与线性表

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树与森林

一棵树为树，两棵树及以上则称为森林
在这里插入图片描述

总结

树相关概念

树由节点(node)和边(edge)构成
整棵树有一个最上端节点，叫做根节点（root）
每个节点可以可以拥有具有方向性的边（directed edges），用来和其他节点相连。
相连节点中，在上面的叫做父节点(parent)，在下面的叫做子节点(child)。
没有子节点的叫做叶节点(leaf)
子节点可以存在多个，如果最多只有两个子节点，那么就是二叉树
不同的节点如果拥有相同的父节点，那么彼此互为兄弟节点(siblings)
根节点到任何节点之间有唯一路径(path)，路径所经过的边数，叫做路径长度(length)
跟节点到任意节点的路径长度，为该节点的深度(depth)。根节点的深度永远是0
某节点到最深子节点(叶节点)的路径长度，叫做该节点的高度(height)。整颗树的高度，以根节点的高度来代表。

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树的双亲表示法、孩子表示法和孩子兄弟表示法