为什么需要实变函数？

对于微积分，其有一个非常明显的不足：黎曼意义下可积函数的类太小。例如定义在$[0,1]$上的狄利克雷函数$D(x)$(有理数点取值1，无理数点取值0)，看上去非常简单，但是他不可积。于是数学家们认为，这是关于黎曼积分的定义有问题的，应该采用一个新的积分是。这是勒贝格研究实变量函数的出发点。

我们进一步讨论黎曼积分的缺陷，所谓的黎曼积分就是说

让函数 $f$ 为定义在区间 $[a,b]$ 的非负函数，我们想要计算 $f(x)$所代表的曲线与 $x$坐标轴跟两条垂直线$x=a$跟$x=b$ 所夹图形的面积（既下图区域 S 的面积），可将区域 S 的面积以下面符号表示：${\int }_a^{b}f(x)dx.$
黎曼积分的基本概念就是对 $x$-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 $S$ 的面积。同时请注意，如函数为负函数， $f:[a,b]\mapsto {\mathbb{R}}_{<0}$，则其面积亦为负值。

对于连续函数，我们通过越来越细的分割可以使得每个小区间的矩形面积接近积分值（连续函数小区间的上下确界差别不大）。回过头来看狄利克雷函数，无论把$x$分的再细，每个小区间都有无理数和有理数，他们彼此的高度差到处都是1，即函数的下确界为0，上确界为1，不会趋向于相同的值，于是在黎曼意义下，他是不可积的。

勒贝格提出了一种新的思路：不分定义域，转而将值域进行分割，把函数值差不多的那部分点集放在一起考虑，用横放着的小矩形面积之和加以逼近。

仍然以$D(x)$为例，他只有两个函数值1，0，取0的是$[0,1]$区间内的无理数集$I$，取1的是其中的有理数集$Q$。假设无理数集的长度是$m(I)$，有理数集的长度是$m(Q)$，此时他的积分就可以表示为$$1\cdot m(Q)+0\cdot m(I)$$
这样的话问题就归结为如何确定$m(Q),m(I)$了，而在微积分中，集合是没有长度的，这就需要一套新的理论——测度论。按照测度论，我们有$m(I)=1,m(Q)=0$，因此该函数的勒贝格积分为0。这就是数学之美！

集合论

这里有个很有意思的人物，集合论的创立者康托尔对无限集合也以大小，多少来分，他断言 “全体实数比全体有理数多”，这是实变函数论的出发点。

集合的表示与运算,上极限/下极限集合

$$集合的表示$$

集合：“在一定范围内的个体事物的全体，当将他们看作一个整体时，我们把这个整体称之为一个集合，其中每个个体事务叫做该集合的元素”。一个集合的各个元素必须是彼此相异的；哪些事物是给定集合的元素必须是明确的。表示方法有以下几种

1. 通过列举元素表示 $A=\{a,b,c...\}$
2. 通过需要满足的条件定义 $A=\{x:x满足条件p\}$

习惯上，$\mathbf{N},\mathbf{Z},\mathbf{Q},\mathbf{R}$分别表示自然数集，整数集，有理数集，实数集。设$f(x)$是定义在$E$上的函数，记$f(E)=\{f(x):x\in E\}$称为该函数的值域。如果$D$是$R$中的集合，$E$是一个非空集合，则称$f^{-1}(D)=\{x:x\in E,f(x)\in D\}$称为$D$的原像。

$用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法$，比如$f(x)$在$\mathbf{R}$上连续，且在$[a,b]$上有上界，即对任意的$x\in [a,b]$有$f(x)\le M$，那么用集合语言可以表示为$[a,b]\subset \{x:f(x)\le M\}$.

$$集合的运算$$
并集的概念可以推广到任意多个集合的情形，设有一族集合$\{A_{\alpha }:\alpha \in \Lambda \}$，其中$\alpha$是在固定指标集$\Lambda$中唯一变化的指标，则由一切$A_{\alpha }$的元素所组成的集合称为这族集合的并集或者合集，记作${\cup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }$，它可以表示为
$${\cup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }=\{x:存在某个\alpha \in \Lambda ,使x\in A_{\alpha }\}$$
习惯上当$\Lambda =\{1,2,...,k\}$为有限集时，并集可以写作$A={\cup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }={\cup }_{n=1}^K{A}_n$，如果是无限集的话，写作$A={\cup }_{n\in N}{A}_n={\cup }_{n=1}^{\infty }{A}_n$。

记并集运算为$A^c$，我们有德摩根定律

• $({\cup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }{)}^c={\cap }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }^c$
• $({\cap }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }{)}^c={\cup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }^c$

$$上极限/下极限集合$$

我们首先从数列来定义所谓的上下极限。上极限，就是向上走的最终趋势，假设我们有一个列集$a_n$，如何确定这个趋势呢

• 第一步，从$a_1$开始向上走“最高能到达的”$\{a_1,a_2,...\}$的“最大值” $\sup \{a_1,a_2,...\}$
• 第二步，从$a_2$开始向上走“最高能到达的”$\{a_2,a_3,...\}$的“最大值” $\sup \{a_2,a_3,...\}$
• …
• 第$n$步，从$a_n$开始向上走“最高能到达的”$\{a_n,a_{n+1},...\}$的“最大值” $\sup \{a_n,a_{n+1},...\}$

最终趋势为 ${\lim }_{n\to \infty }{\sup }_{k\ge n}\{a_k\}$，即上极限${\bar{\lim }}_{n\to \infty }{a}_n$。从数学上来讲，${\sup }_{k\ge n}\{a_k\}$是一个不增的数列，因此总是有极限的。而因为一个不增的数列，他的极限就是他的下确界，因此这个上极限又可以定义为${\inf }_{n\ge 1}{\sup }_{k\ge n}\{a_k\}$。此时我们的定义只依赖于上下确界，因此要将这种定义推广到集合，我们需要知道集合的上下确界。

对于数列的上下确界，分别表示数列的上(下）界中最小(大）的那个。那么对于集列$\{A_n\}$，我们是不是可以定义上确界为比所有$A_n$都大的集合中最小的那个（集合的大小并不是元素的多少，直观来看如果$A\subset B$，那么A比B小），对于一群集合$\{A_n\}$，他们的上确界直观来看应该是他们的并集，同样的他们的下确界就是他们的交集。所以集合列的上下极限就是将数列中的$\inf$写为$\cap$，$\sup$写为$\cup$。

它原始的定义如下

那么我们不妨问一个问题，“集合”与“数列”之间存在什么关系，使得我们可以定义上下极限？
他们的共同点在于，都可以比大小，其中数列比较的值的大小，而集列比较的是集合大小。

对等与基数，伯恩斯坦，定理可数/不可数集合

简单来讲，这部分的内容就是学习“如何数数”，先给出一些定义

• 映射：给定集合$A,B$，将集合A中的每个元素都对应到B中的元素的一种方式。、
• 对等（等势）：如果存在从A到B的一一映射，则称A，B对等 $A\sim B$（$\varphi$与$\varphi$是对等的）。
• 对等推广：数量相等的有限个元素的集合都对等。
• 有限集：集合A与$\{1,2,...,n\}$对等，则称A是一个有限集。
• 无限集：不是有限集就是无限集。
  
  再给出一些有用的推论
• 整数集合$Z\sim$所有奇数的集合(二者的对应关系为$n\to 2n+1$)。
• 无限集中存在着一个真子集与它对等！（$(0,1)\sim R,x\to \tan (\pi x-\frac{\pi }{2})$）

$$如何定义数量$$
基数（势）：

• 如果$A\sim B$则称A,B有相同基数，记为$\stackrel{=}{A}=\stackrel{=}{B}$，有限集时这显然就是个数。
• $A,B$不对等，但$A$与$B$的一个真子集对等，则称A比B有较小的基数$\stackrel{=}{A}<\stackrel{=}{B}$。
• $\ge ,\le ,=,>,<$这些符号用在集合中就是对基数的比较。

伯恩斯坦定理：$\stackrel{=}{A}\le \stackrel{=}{B}and\stackrel{=}{B}\le \stackrel{=}{A}\to \stackrel{=}{A}=\stackrel{=}{B}$

该定理使得我们能够判断两个集合基数的关系，而不需要费尽心思构造两个集合之间的双射。也就是说对等关系简化成了，从$A\to B$的单射与$B\to A$的单射。

比如$(0,1)$与$(0,1]$之间的关系，直接建立二者的双射关系是很复杂的，但是通过定理我们可以先找他们的真子集

以下讨论的可数，不可数集合都是无限集合。
$$可数/可列集合$$
凡是和全体正整数所成集合${\mathbf{Z}}^{+}$对等的集合都称为可数集合或可列结合。$\mathbf{N},\mathbf{Z}$，奇数集合，偶数集合都是可数集合。一个集合是可数集合的充要条件是集合可以排成一个无穷序列（与正整数一一对应）。

• 定理1：任何无限集都至少包含一个可数子集，即可数集合是最少的无限集（可数集在所有无限集中有最小的基数）。
  

• 定理2：可数集合的无限子集必为可数集合，从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集。

• 定理3：设A为可数集，B为有限或可数集，则$A\cup B$为可数集。

• 定理4：设$A_i(i=1,2,3,...)$都是可数集，则${\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i$也是可数集。

• 定理5：有理数（正整数、负整数、正分数、负分数以及零）全体是一个可数集合。
  
  有理数在实数中是处处稠密的，尽管如此，全体有理数也只不过是一个和稀疏分布的正整数全体一一对应的可数集。这个令人难以置信的事实，正是集合论向“无限”进军的一个重要成果，是人类理性思维的又一胜利。

• 定理6：$A_i$是可数集，则$A=A_1\times A_2\times ...\times A_n$是可数集

• 定理7：代数数的全体是一可数集（代数数是整系数多项式的根,1是x-1=0的根，$\sqrt{-1}是x^2+1=0的根$）。

$$不可数集合$$
如果所有无限集全都是可数集，那么它们都具有相同的基数，那么这个概念的引入也没有任何意义了。而从以下定理我们可以知道不是可数集的无限集是存在的。我们定义不是可数集合的无限集合为不可数集合。那么我们不妨问两个问题 （i）基数可以不断增大吗？ （ii）有没用最大的不可数集合。

• 康托尔定理：设$M$是任意一个集合它的所有子集组成的新集合$\mu$，则有$\stackrel{=}{\mu }>\stackrel{=}{M}$.
  对于有限集合，这是显然的如果$M$有$n$个元素，那么$\mu$有$2^n$个元素，无限集合这里不做讨论。
  应用：罗素悖论（所有集合的全体不是集合）。如果康托尔定理成立，那么$\mu$也是集合且$\mu$中的元素都属于$M$即$\mu \subset M\to \stackrel{=}{\mu }\le \stackrel{=}{M}$，与康托尔定理矛盾。
  这个定理显示了，基数可以不断增大，而且我们不能找到最大的基数。

• 定理1：全体实数$\mathbf{R}$是一个不可数集合，其与幂集(自然数的所有子集)$2^N$对等。
  证明过程如下，我们可以构造出很多小数，让他的第一位与$a_1^{(1)}$不同，第二位与$a_2^{(2)}$不同,…,第$n$位与$a_n^{(n)}$不同，它可以与序列中的元素都不相同，也就是说实数全体不能展开为一个序列。

• 若用$c$表示全体实数所组成的集合$R$的基数，用$a$和表示全体正整数所成集合$Z^{+}$的基数，则$c>a$。以后称$c$为连续基数
• 定理2：任意区间$(a,b),[a,b),(a,b]$均具有连续基数$c$。
• 定理3：设$\{A_i{\}}_{i=1}^{\infty }$是一列互不相交的集合，他们的基数都是$c$，则${\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i$的基数也是$c$，
  
• 定理4：设有一列集合$\{A_n:n\in {\mathbf{Z}}^{+}\},\stackrel{=}{A_n}=c,A={\prod }_{n=1}^{\infty }{A}_n$,那么$\stackrel{=}{A}=c$.
• 定理5：$n$维欧几里得空间${\mathbf{R}}^n$的基数为$c$。$R^n$是n个$R$的直积。
  推论1：复数的基数为$c$。
  推论2：$c$个基数为$c$的集合的并的基数仍然为$c$。

度量空间与欧氏空间，聚点内点界点，开集闭集

设$X$是一个集合，对于集合内的任意两个元素$x,y$，都有唯一确定的实数$d(x,y)$与之对应，而且这一对应关系满足下列条件

• 非负性 $d(x,y)>0$，$d(x,y)=0$当且仅当$x=y$。
• 三点不等式 $d(x,y)\le d(x,z)+d(y,z)$对任意$z$都成立。
• 对称性 $d(x,y)=d(y,x)$。
  则称$(X,d)$为度量空间或者距离空间。$({\mathbf{R}}^n,d)$称为欧氏空间，$d(x,y)=({\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2{)}^{1/2}$称为欧氏距离。

以下是一些常用定义

• 集合的距离可以定义为集合中元素离得最近的长度，但是最近这个词在数学中往往是达不到的。因此我们使用下确界来定义$d(A,B)={\inf }_{p\in A,Q\in B}d(P.Q)$
• 集合的直径定义为最远两点的长度，同样的我们使用上确界来定义$r(E)={\sup }_{p,q\in E}d(p,q)$
  如果$r(E)<\infty$则称$E$有界，如果是点集则称之为有界点集。
  在$R^n$中只要与原点的距离有限，那么就是有限集。
• $R^n$的邻域：和定点$P_0$之距离小于定数$\delta >0$的点的全体，即集合$\{P:d(P,P_0)\}<\delta$称为$P_0$的$\delta$邻域，记为$U(P_0,\delta )$，不需要指出半径时记为$U(P_0)$
• 区间：点集$\{(x_1,...,x_n):a_i<x_i<b_i,i=1,2,...,n\}$称为一个$n$维的开区间，如果将条件换为$a_i\le x_i\le b_i$则成为闭区间，统称为区间$I$。$b_i-a_i$称为$I$第$i$条边的边长，${\prod }_{i=1}^n(b_i-a_i)$称为$I$的体积，记为$|I|$。

$$聚点内点界点$$
设$E$是$R^n$中的一个点集，$P_0$是一个定点，那么$P_0,E$之间有以下关系

• 内点：$P_0$附近全是$E$的点，$E$的全体内点的集合称为$E$的开核$\stackrel{\circ }{E}$。
• 外点：该点附近全部是$E$的点。
• 边界点：该点附近总是有$E$的点又有不是$E$的点，$E$的全体边界点的集合称为边界$\partial E$。
• 聚点：该点的任意邻域内都含有无穷多个属于$E$的点，内点一定是聚点，但是聚点也可能是边界点。$E$的全体聚点称为导集$E^{\prime }$
• 孤立点：如果$P_0$属于$E$但不是$E$的聚点，则称$P_0$为$E$的孤立点。
• $E$的边界点不是聚点就是孤立点。

$$开集闭集$$

• 开集：$E$中每个点都是内点，充要条件$E\subset \stackrel{\circ }{E}$或者$E=\stackrel{\circ }{E}$
• 闭集：$E$的每一个聚点都属于$E$，$E^{\prime }\subset E$或者$\partial E\subset E$。