第5讲 信号流图
前面我们已经学了方块图，这是一种很有用的图示法。但是，对于复杂的控制系统，使用方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。
Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中已经被广泛地应用。
信号流图是表示线性方程组变量间关系的一种图示方法，将信号流图用于控制理论中，可不必求解方程就得到各变量之间的关系，既直观又形象。当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流图，并可据此采用梅逊(Mason)公式求出系统的传递函数。
当系统非常复杂时，结构图的简化过程是很麻烦的。
信号流图是便是复杂系统中变量间相互关系的另一种图示方法。
这种方法是由美国数学家梅逊（Mason）首先提出的，应用这种方法，不必对信号流图进行简化，而根据统一的公式，就能方便的求出系统的传递函数。
5.1信号流图的定义
信号流图示一种表示一组联立线形代数方程的图。表明了系统中各信号的关系，包含了结构图中所包含的全部信息，与结构图一一对应。
考虑如下简单等式
这里变量xi和xj可以是时间函数、复变函数，aij是变量xj变换(映射)到变量xi的数学运算，称作传输函数，如果xi和xj是复变量s的函数，称aij为传递函数Aij(s)，即上式写为
变量xi和xj用节点“○”来表示，传输函数用一有向有权的线段(称为支路)来表示，支路上箭头表示信号的流向，信号只能单方向流动。
5.2 信号流图的术语
节点：表示变量或信号的点，用“○”表示。
支路：连接两个节点之间的有向有权线段，方向用箭头表示，权值用传输函数表示。
输入支路：指向节点的支路。
输出支路：离开节点的支路。
输入节点（源节点）：只有输出支路的节点，也称输入节点，如图中节点X1。
输出节点（汇节点）：只有输入支路的节点，如图节点X7。
混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点，如图中的X2、X3、X4、X5、X6。
通道(路径)：沿着支路箭头方向通过各个相连支路的路径，并且每个节点仅通过一次。如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反馈回X2。
前向通道：从输入节点(源节点)到汇节点的通道。如图X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7为一条前向通道，又如X1到X2到X3到X5到X6到X7也为另一条前向通道。
自回环：单一支路的闭通道，如图中的-H3构成自回环。
通道传输或通道增益：沿着通道的各支路传输的乘积。如从X1到X7前向通道的增益G1G2G3G4G5G6。
不接触回环：如果一些回环没有任何公共的节点，称它们为不接触回环。如－G2H1 与－G4H2。
5.3 系统的信号流图
对于线性系统，信号流图的绘制应包括以下步骤：
（1）将描述系统的微分方程转换为以s为变量的代数方程。
（2）按因果关系将代数方程写成如下形式 ：
（3）用节点“○”表示n个变量或信号，用支路表示变量与变量之间的关系。通常把输入变量放在图形左端，输出变量放在图形右端。
例5-1如上图所示的电阻网络，v1为输入、v3为输出。选5个变量v1、i1、v2、i2、v3，由电压、电流定律可写出四个独立方程
将变量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作节点表示，由因果关系用支路把节点与节点联接，得信号流图。
翻译法：由已知的系统结构图直接翻译成信号流图。
1）结构图中的每一个方框，在信号流图中用一条支路代替，方框中的传递函数就是支路上的增益。
2）结构图中的信号传输线，在信号流图中用节点来代替。输入、输出信号分别用一个独立节点来代替。
3）结构图中的相加点，可以用一个混合节点来代替，所表示的变量应为相加点的输出信号。相加点处的负号，在信号流图中要写到相应的增益中去。
5.4 信号流图的性质
（1）信号流图只适用于线性系统；
（2）信号流图所依据的方程式，一定为因果函数形式的代数方程；
（3）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；
（4）节点上可把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路；
（5）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的支路，可把其变为输出节点，即汇节点；
（6）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。
例5-2 画出图所示系统方块图的信号流图。
解：
①用小圆圈表示各变量对应的节点
②在比较点之后的引出节点A1、A2 只需要在比较点的后面设置一个节点便可。即可以与它前面的比较点共用一个节点。
③在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的 e1和e2
信号流图与结构图之间的关系：
5.5 信号流图的简化
（1）加法规则：n个同方向并联支路的总传输，等于各个支路传输之和，如图(a) 所示：
（2）乘法规则 ：n个同方向串联支路的总传输，等于各个支路传输之积，如图（b）。
（3）混合节点可以通过移动支路的方法消去，如图（c）。
4）回环可根据反馈连接的规则化为等效支路，如图（d）。
例5-3将图所示系统方框图化为信号流图并化简求出系统的闭环传递函数
解：信号流图如图 (a)所示。化G1与G2串联等效为G1G2支路，G3与G4并联等效为G3+G4
5.6信号流图的增益公式
用信号流图简化规则，逐渐简化，最后得到总增益或总传输。但是，这样很费时又麻烦，而梅逊(Mason)公式可以对复杂的信号流图直接求出系统输出与输入之间的总增益，或传递函数，使用起来更为方便。
梅逊增益公式可表示为
式中， T— 输出和输入之间的增益或传递函数；
Pk— 第k条前向通道的增益或传输函数；
Δ — 信号流图的特征值，
∑L j1所有不同回环增益之和；
∑L j2所有两两互不接触回环增益乘积之和；
∑L j3所有三个互不接触回环增益乘积之和
┆ ┆
Δk－ 与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的Δ，称为第k条前向通道特征式的余子式。
例5-4 利用梅逊公式求图中所示系统的传递函数
C(s) / R(s)。
解：输入量R(s)与输出量C(s)之间有三条前向通道，对应Pk与Δk为
P1=G1G2G3G4G5 Δ1=1
P2=G1G6G4G5 Δ2=1
P3=G1G2G7G5 Δ3=1
P4= -G1G6G2G7G5 Δ4=1
图中有五个单回环，其增益为：
L1= -G3H2，
L2 = -G5H1，
L3 = -G2G3G4G5H3，
L4 = -G6G4G5H3，
L5 = -G2G7G5H3，
其中L1与L2是互不接触的，其增益之积
系统的特征式Δ为
系统的传递函数为
总结：
1. 1. 数学模型是描述元件或系统动态特性的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。用解析法建立实际系统的数学模型时，分析系统的工作原理，忽略一些次要因素，运用基本物理、化学定律，获得一个既简单又能足够精确地反映系统动态特性的数学模型。
2. 实际系统均不同程度地存在非线性，但许多系统在一定条件下可近似为线性系统，故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理(如增量化法)，然后用线性理论进行分析。但应注意，不是任何非线性特性均可进行线性化处理。
3. 传递函数是经典控制理论中的一种重要的数学模型。其定义为：在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯与输入的拉普拉斯变换之比。
4. 根据运动规律和数学模型的共性，任何复杂系统都可划分为几种典型环节的组合，再利用传递函数和图解法能较方便地建立系统的数学模型。
5. 方框图是研究控制系统的一种图解模型，它直观形象地表示出系统中信号的传递特性。应用梅逊公式不经任何结构变换，可求出源节点和汇节点之间的传递函数。信号流图的应用更为广泛。 实践表明，应用梅逊公式可以大大简化系统结构变换的计算。但当系统结构过于复杂的时候，前向通道、回路，余子式的数目很容易判断错误。因此常常将梅逊公式和结构图变换结合起来用，也经常用这两种方法互相进行检验 。
金鸡一唱天下白：第六讲 线性定常系统的稳定性zhuanlan.zhihu.com注：版权属笔者所有，如需转载请务必联系！
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参考
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