怎么判断两个多项式互素_两个多项式的结式及其应用

对于数域

上的两个多项式

,我们通常是通过辗转相除法计算最大公因式，并判断其是否互素。本节我们将介绍一种新方法，判断两个多项式是否互素。

我们先看如下引理

引理：设

均为数域

上的非常数的多项式，

的次数为

,

的次数为

,则

与

在数域

上不互素（即它们的最大公因式不是非零常数）的充要条件是存在次数小于

的多项式

以及次数小于

的多项式

,使得

证：必要性：设

,则

次数大于等于1

则

，其中

次数小于

,

次数小于

。令

即可得证

充分性：设

,

,则

且

,即

。

而

,故

次数小于

,从而

,即

有一个非常数的公因式

对于两个非常数的多项式

以及

,我们可以设

以及

，则由

立马可得

上式可看成 关于

的线性方程组,这个方程组有

个方程，

个未知量。且为齐次线性方程组

把齐次线性方程组

的系数矩阵行列互换，再把后边n行反号，再取行列式，即可得到

其中含

的共

行，含

的共

行,我们称这样的行列式为多项式

与

的

(这里最高项系数总保持均为0,即

)。此时由上面的分析，我们可以得到：

不互素当且仅当线性方程组

有非零解，当且仅当

，即如下定理

定理1：数域

上非常数的两个多项式

不互素当且仅当

我们应用结式来分析以下问题

1.两个多项式是否互素问题

例1：设

,则

,即

,则

不互素当且仅当

,即

2.二元高次方程组

对于二元高次方程组

,我们可以令

为常数，这样

均可以看成关于

的多项式

,这时

有公因式，从而不互素，在

最高项系数均不为零的时候令

,这就转化为关于

的一元高次方程，求出

,再代入两个方程求

。另外，在

最高项系数至少有一个为零时另外考虑，还是求出相应的

,再代入两个方程求

。

例2：对于方程

,我们令

,则

,令

,则

当

时,

,即

当

时，

,即

当

时，

,即

从而解为

or

or

3.多项式是否有重根

定义：对于

次多项式

(其中

),称

为多项式

的

容易验证

有重根当且仅当

对于二次多项式

,我们可以计算出

,这与一元二次方程的判别式是一致的。同时，在中学里我们学过，二次多项式的判别式还有一个用途——判断实系数二次多项式是否有实根以及有多少个不等实根。