并联系统失效率公式推导

简单说两句

最近在复习系统可靠性的时候，遇到几个公式，尤其是并联系统失效率公式看起来就很复杂，本想推导一番却陷入沉思，在百度无果的情况下，又花了一番工夫才搞出来，遂记之。

几个概念

并联系统：系统由N个子系统组成，只要有一个子系统正常工作，系统就能正常工作。

失效率：单位时间内失效的元件数占总元件数的比例。

公式推导

串联系统很容易理解，任何时候N个子系统都在工作中，所以失效率为所有子系统失效率相加。

比如1个系统由A、B、C3个子系统组成，A损失率为0.1,B损失率为0.2,C损失率为0.3,就是说单位时间内，如果系统总10个元件，A要坏1个，B2个，C3个，总的坏6个，所以失效率为0.6(0.1 + 0.2 + 0.3)。

我当时思考并联系统时，总觉得应该是一个元件用不了才会用到其他元件，然后还把概率扯进去了，发现压根凑不出这个公式。

最后发现，书本上有提到：系统平均无故障时间 = 1 / 失效率

也就是说：失效率 = 1 / 系统平均无故障时间 。

那系统平均无故障时间怎么算呢？

根据书中假设
所以每个子系统的 系统平均无故障时间 = 1/ $\lambda$
我们可以列下：
N=1时，即只有一个子系统，则系统无故障时间为 1 * 1/ $\lambda$
N=2时，子系统1用不了，还可以用子系统2，所以无故障时间为 2 * 1/ $\lambda$
……
可以推出，N个子系统无故障时间为 N * 1/ $\lambda$

则平均无故障时间为：(1 + 2 + … + N) / N * 1/ $\lambda$ = 1/ $\lambda$*${\sum }_{j=1}^{N}1/j$

再求倒下即为并联系统失效率，得证！