当集合a为空集时a的取值范围_规范解题第24期解一道关于集合的子集题

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规范解题·第1期▕ 解一道基本不等式题

无规矩不成方圆

题目

已知集合A=｛x▕ x²-3x-10≤0｝，

B={x▕ m+1≤x≤2m-1}，

若A∪B=A，求实数m的取值范围.

错解

解：∵x²-3x-10≤0，

∴-2≤x≤5，

∴A=｛x▕ -2≤x≤5｝，

由A∪B=A知B是A的子集，

∴-2≤m+1，2m-1≤5，

即-3≤m≤3.

错因

"空集是任意集合的子集”，这道题错因是忽视了空集这种特殊情况，把集合B只当做非空集合了，没有考虑完整，同学们，当在集合运算中，涉及到子集问题，一定要考虑到空集，勿忘空集.

思考

同学们，m+1≤x≤2m-1这种形式一定有实数解吗？这个值得思考，m+1与2m-1大小决定这个不等式有没有实数解，故要分情况讨论.

A∪B=A⇔B是A的子集；A∩B=B⇔B是A的子集.当题目中出现这样的条件时，要对集合B分情况讨论，即分为“空集”和“非空”两种情况讨论，实际上，要记住 "空集是任意集合的子集”的这一规定.

规范解题

解： ∵x²-3x-10≤0，

∴-2≤x≤5，

∴A=｛x▕ -2≤x≤5｝，

由A∪B=A知B是A的子集，

⑴若B是空集，则m+1>2m-1，

即m<2，

故m<2时，A∪B=A；

⑵若B是不是空集，则m+1≤2m-1，

即m≥2，

又B是A的子集，得：

-2≤m+1，2m-1≤5，

解得-3≤m≤3，

又m≥2，

故2≤m≤3.

总结

空集是一个特殊的重要集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，当题设中隐含有空集参与的集合运算关系时，其特殊性是很容易被忽视的，从而引发解题失误.

学以致用

已知集合A=｛x▕ x²-m≤0｝，

B={x▕ -2

若A∪B=A，求实数m的取值范围.

学生答题

答题感悟

本题考查【集合的并集运算】，可利用并集的性质“任何集合与其子集的并集等于集合本身”，即可得出“A∪B=B”为“A是B的子集”的转化。其端点值也为易错点，因为B两端为空心，所以B集合取不到负2与3；而A集合两端为实心，可以取到端点值，所以在下面的列式中，负根号m与根号m不可以带等号。m的分类讨论也为重难点，极易忘记分类，分类标准与分类后的取舍需要依据题目条件进行，最后写出“综上所述，”归纳答案，使其清晰明了。在做题时，也可活用数轴与Venn图，图形结合，更易解题。

本期答题人

张思缘同学，是马鞍山市红星中学高二文承三班的信息委员，喜欢数学和历史，希望在老师的指导下和自己的努力下，实现自己的梦想！