一、定义

由$n$行$n$列元素组成的方阵算式，称为$n$阶行列式。记为：
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$它本身是一个算术表达式，就好比$“2\times 3+4”$一样。其具体计算法则为：
对于二阶行列式：
$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$对于三阶行列式：
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}+a_{31}{a}_{12}{a}_{23}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{33}{a}_{12}{a}_{21}$$对于$n$阶行列式：
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1,j_2,\cdots ,j_n}(-1{)}^{\tau (j_1,j_2,\cdots ,j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$其中，$\tau (j_1,j_2,\cdots ,j_n)$表示序列$j_1,j_2,\cdots ,j_n$的逆序数。在一个数字序列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个数字序列中逆序的总数就称为这个序列的逆序数；${\sum }_{j_1,j_2,\cdots ,j_n}$表示对由1到$n$的自然数序列（$j_1,j_2,\cdots ,j_n$）的每一种排列顺序的计算结果求和。

二、几何意义

一个方阵可以视为一组基（即坐标系），其各列向量即为该组基的各基向量。而方阵的行列式反映的是用该方阵去线性变换一个基（即左乘一个方阵）后，得到的新基向量所围超立方体在原基向量所围超立方体基础上的体积变化倍数。单独一个方阵$\mathbf{A}$可视为其左边还乘了一个单位阵$\mathbf{I}$，即$\mathbf{A}=\mathbf{A}\mathbf{I}$，而$|\mathbf{I}|=1$，所以该方阵行列式的绝对值就等于组成该方阵的各列向量按平行四边形法则所围成的超立方体的“体积”。例如：
$$A=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]$$则由这两个向量构成的方阵行列为：
$$S=\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right|$$行列式$S$的绝对值就等于下图平行四边形的面积。

三、性质

基于上述行列式的几何意义，可推论出如下性质：

1. 方阵积的行列式等于方阵行列式的积。即$|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$。
2. 行列式转置后值不变。即$|{\mathbf{A}}^T|=|\mathbf{A}|$。
3. 互换任意两行或两列，行列式值变号。
4. 某一行或某一列乘同一个系数，相当于行列式值乘该系数。
5. 把其中某一行（或列）乘一个系数后加到另一行（或列）上，行列式值不变。
6. 由$n$个$n$维向量构成的向量组如果线性相关，即说明其中有的向量可由其他向量线性表示，也就是说有的向量存在于其他向量张成的子空间里，所以这$n$个向量围成的超立方体的维度一定低于$n$维，即在$n$维空间里没有体积，因此由这组向量组成的矩阵行列式为0。其实方阵的行列式不为零、满秩、可逆，这三者都是一回事，参见《简述线性方程组》。
7. 若$|\mathbf{A}|=0$，说明用矩阵$A$去做线性变换（即左乘）一组基可实现降维，即得到的新基张成的空间体积变成了0。但没有线性变换可实现升维，因为新加的任何维度都与原空间线性无关，即无法对该$\mathbf{A}$矩阵做的线性变换做逆操作，即该$\mathbf{A}$矩阵没有逆矩阵。

四、余子式

（一）定义

一个方阵$\mathbf{A}$去掉第$i$行和第$j$列后，剩下的部分构成的新行列式称为该第$i$行第$j$列元素$a_{ij}$的余子式。前面再乘以$(-1{)}^{(i+j)}$则称为代数余子式，记为$A_{ij}$。

（二）余子式展开

一个方阵$\mathbf{A}$的行列式等于其任意一行（或列）的各元素乘以其对应代数余子式的和。即
$$|\mathbf{A}|=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}$$

五、计算方法总结

一个方阵的行列式除按定义来计算外，还可通过以下三种方法来计算：

1. 利用行列式性质将其化成三角阵（即左下角或右上角元素都化成0），此时其对角线元素的乘积即为行列式结果。
2. 通过代数余子式展开降阶计算。
3. $n$阶方阵$n$个特征值的乘积就是行列式值。

六、克拉默法则解线性方程组

对于一个$n$元一次线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$用矩阵内积的形式表示为：
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$$对于上述线性方程组，设
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$$$D_1=\left|\begin{array}{cccc}{b}_1& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ b_2& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_n& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$$$D_2=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& b_1& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& b_2& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& b_n& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$以此类推直到
$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & b_n\end{array}\right|$$当$D\ne 0$时，该方程组有唯一解：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=D_1/D\\ x_2=D_2/D\\ ⋮\\ x_n=D_n/D\end{array}$$