关键词：条件
你是否还在与其他人激烈地争吵这个问题，或者绞尽脑汁地在思考着这个烧(jian)脑(dan)的问题？下面，笔者就带你一起讨论这个问题的答案吧。
对于问题
0.00 9 ˙ = ? 1 0.00 \dot{9} \overset{?}{=} 10.009˙=?1
的讨论根本毫无意义！！！（看到这是不是心里悄悄地臭骂了一顿?）。
所有的数学命题都需要在一定条件下进行讨论
不在任何条件下的命题讨论都是耍流氓！！
来看一下数列极限的定义：设有一数列 { 1 n } \left \{ \frac{1}{n} \right \}{n1}，对于 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0∀ε>0，当 n > N n > Nn>N 时，有
∣ 1 n − 0 ∣ < ε \left| \frac{1}{n} - 0 \right| < \varepsilon∣∣∣∣n1−0∣∣∣∣<ε
记作
lim n → ∞ 1 n = 0 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0n→∞limn1=0
注意看上面的条件：当 ∣ 1 n − 0 ∣ < ε \left| \frac{1}{n} - 0 \right| < \varepsilon∣∣n1−0∣∣<ε 时，在这个条件下讨论数列 { 1 n } \left \{ \frac{1}{n} \right \}{n1} 的收敛性才是有意义的，如果单看 1 n = 0 \frac{1}{n} = 0n1=0，这怎么可能嘛?。
说到这里，我们理解了在命题讨论是要在一定的条件下进行。
引理 a , b ∈ R a, b \in \mathbb{R}a,b∈R，对于 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0∀ε>0，如果有 ∣ a − b ∣ < ε \left| a - b \right| < \varepsilon∣a−b∣<ε，则 a = b a = ba=b。
该引理来自华东师大《数学分析》（上册），第一章课后习题第三题。
证明 使用反证法，假设 a ≠ b a \ne ba=b，设 a > b a > ba>b。令 ε = a − b > 0 \varepsilon = a - b > 0ε=a−b>0，那么就有 ∣ a − b ∣ = a − b = ε \left| a - b \right| = a - b =\varepsilon∣a−b∣=a−b=ε，但这与 ∣ a − b ∣ = a − b < ε \left| a - b \right| = a - b < \varepsilon∣a−b∣=a−b<ε 相矛盾，因此命题正确。
将这个引理应用到我们开头所要讨论的问题上，对于 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0∀ε>0，始终有 ∣ 0.99 9 ˙ − 1 ∣ < ε \left| 0.99 \dot{9} - 1\right| < \varepsilon∣∣0.999˙−1∣∣<ε，因此 0.99 9 ˙ = 1 0.99 \dot{9} = 10.999˙=1 成立。特别地再次地强调，0.99 9 ˙ = 1 0.99 \dot{9} = 10.999˙=1 是在 ∣ 0.99 9 ˙ − 1 ∣ < ε \left| 0.99 \dot{9} - 1\right| < \varepsilon∣∣0.999˙−1∣∣<ε 的条件下才成立的！！！
如果不在任何条件下硬要讨论 0.99 9 ˙ = ? 1 0.99\dot{9} \overset{?}{=} 10.999˙=?1 的问题，那么答案肯定是 0.99 9 ˙ ≠ 1 0.99 \dot{9} \ne 10.999˙=1，因为两者始终有一个 0.000 ⋯ 01 0.000 \cdots 010.000⋯01 （中间无数个零）的误差。但是这个误差是一个高阶无穷小量，当然可以把这个误差省略掉，但这就无形之中不自觉地增加了一个条件。
在之前的学习中笔者也没有在意条件这个东西，直到一次参加数学建模的时候（21年的国赛C题），当团队写完整个论文之后交给老师修改，老师说一定要把论文中的使用到的模型假设（这也可以看作一个条件）写上。我心里一愣，啊这…论文的模型有什么假设？！！这之后才重视条件这个东西。
（后期想到什么再补上去）