0.999的循环真的等于1吗?

关键词:条件

你是否还在与其他人激烈地争吵这个问题,或者绞尽脑汁地在思考着这个烧(jian)脑(dan)的问题?下面,笔者就带你一起讨论这个问题的答案吧。

对于问题
0.00 9 ˙ = ? 1 0.00 \dot{9} \overset{?}{=} 10.009˙=?1
的讨论根本毫无意义!!!(看到这是不是心里悄悄地臭骂了一顿?)。

所有的数学命题都需要在一定条件下进行讨论

不在任何条件下的命题讨论都是耍流氓!!

来看一下数列极限的定义:设有一数列 { 1 n } \left \{ \frac{1}{n} \right \}{n1},对于 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0ε>0,当 n > N n > Nn>N 时,有
∣ 1 n − 0 ∣ < ε \left| \frac{1}{n} - 0 \right| < \varepsilonn10<ε
记作
lim ⁡ n → ∞ 1 n = 0 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0nlimn1=0

注意看上面的条件:当 ∣ 1 n − 0 ∣ < ε \left| \frac{1}{n} - 0 \right| < \varepsilonn10<ε 时,在这个条件下讨论数列 { 1 n } \left \{ \frac{1}{n} \right \}{n1} 的收敛性才是有意义的,如果单看 1 n = 0 \frac{1}{n} = 0n1=0,这怎么可能嘛?。

说到这里,我们理解了在命题讨论是要在一定的条件下进行。

引理 a , b ∈ R a, b \in \mathbb{R}a,bR,对于 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0ε>0,如果有 ∣ a − b ∣ < ε \left| a - b \right| < \varepsilonab<ε,则 a = b a = ba=b

该引理来自华东师大《数学分析》(上册),第一章课后习题第三题。

证明 使用反证法,假设 a ≠ b a \ne ba=b,设 a > b a > ba>b。令 ε = a − b > 0 \varepsilon = a - b > 0ε=ab>0,那么就有 ∣ a − b ∣ = a − b = ε \left| a - b \right| = a - b =\varepsilonab=ab=ε,但这与 ∣ a − b ∣ = a − b < ε \left| a - b \right| = a - b < \varepsilonab=ab<ε 相矛盾,因此命题正确。

将这个引理应用到我们开头所要讨论的问题上,对于 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon > 0ε>0,始终有 ∣ 0.99 9 ˙ − 1 ∣ < ε \left| 0.99 \dot{9} - 1\right| < \varepsilon0.999˙1<ε,因此 0.99 9 ˙ = 1 0.99 \dot{9} = 10.999˙=1 成立。特别地再次地强调,0.99 9 ˙ = 1 0.99 \dot{9} = 10.999˙=1 是在 ∣ 0.99 9 ˙ − 1 ∣ < ε \left| 0.99 \dot{9} - 1\right| < \varepsilon0.999˙1<ε 的条件下才成立的!!!

如果不在任何条件下硬要讨论 0.99 9 ˙ = ? 1 0.99\dot{9} \overset{?}{=} 10.999˙=?1 的问题,那么答案肯定是 0.99 9 ˙ ≠ 1 0.99 \dot{9} \ne 10.999˙=1,因为两者始终有一个 0.000 ⋯ 01 0.000 \cdots 010.00001 (中间无数个零)的误差。但是这个误差是一个高阶无穷小量,当然可以把这个误差省略掉,但这就无形之中不自觉地增加了一个条件。

在之前的学习中笔者也没有在意条件这个东西,直到一次参加数学建模的时候(21年的国赛C题),当团队写完整个论文之后交给老师修改,老师说一定要把论文中的使用到的模型假设(这也可以看作一个条件)写上。我心里一愣,啊这…论文的模型有什么假设?!!这之后才重视条件这个东西。

(后期想到什么再补上去)


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