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元旦一过，期末考就要来了。一元二次方程是初三的重点，也是期末考命题的热点，着重考查一元二次方程的概念、解法、根的判别式和根与系数的关系、一元二次方程的应用。在考试中一般以选择题、填空题、计算题、应用题的形式出现，难度仍以基础题、中档题为主，只要掌握了基础知识，应该都会解答。
今天老师结合经典例题，和同学们把以上知识再系统复习一遍，希望对大家的备考会有帮助。
1.一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0，其中a≠0。
经典题1.若方程(m-2)xm²-3m+4+2x-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是( )。
A.2
B.1
C.1或2
D.3
解题思路提示
本题根据一元二次方程的一般形式，即可得到m2-3m+4=2，并且m-2≠0，即可求得m的范围。
解题步骤
由一元二次方程的特点得
m2-3m+4=2，m-2≠0
解得：m=1。故选B
2.一元二次方程的解法
一元二次方程的常见解法有：
⑴ 直接开平方法；
⑵ 配方法；
⑶ 公式法；
⑷ 因式分解法。
经典题2.用因式分解法解方程x2+(√5-√3)x-√15=0，其根为______。
解题思路提示
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的能力。因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用。
1、回忆一下因式分解法的求解方法；
2、根据因式分解法将方程变形为(x+√5)(x-√3)，至此你有思路了吗?
3、求解等价方程x+√5=0、x-√3=0，即可得到原方程的解，自己动手试试吧！
解题步骤
∵(x+√5)(x-√3)=0，
∴x1=-√5，x2=√3。
3.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
判别式和根与系数的关系是一元二次方程的理论基础，设x1，x2是一元二次方ax2+bx+c=0的两个实数根，则有
⑴ X1+X2=-b/a，
⑵ x1x2=c/a，
⑶ a≠0，
⑷ b2-4ac≥0。
在利用根与系数的关系解题时，一定要注意条件⑶⑷的限制。
经典题3.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有下列说法：
①若a、c异号，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根；
②若b2-5ac>0时，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实数根；
③若b=a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
④若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等实数根。其中正确的是( )。
A.只有①③
B.只有①2④
C.只有①②
D.只有②④
解题思路提示
由于a、c异号，则△=b2-4ac>0，根据判别式的意义可对①进行判断；由于b2-5ac>0时，△=b2-4ac>ac，所以不管a、c异号与同号，都有△>0，根据判别式的意义可对②进行判断；由于b=a+c，△=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,根据判别式的意义可对③进行判断；方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，c可能为0，根据一元二次方程的定义可对④进行判断。
解题步骤
若a、c异号，则△=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0一定有实数根，所以①正确；
若b2-5ac>0时，△=b2-4ac>ac,所以不管a、c异号与同号，△>0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实数根，所以②正确；
若b=a+c，△=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，所以③错误；
若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，c可能为0，则方程cx2+bx+a=0就不能为一元二次方程，所以④错误。
故选C。
4.一元二次方程的应用
经典题4.兰翔百合经销店将进货价为20元/盒的百合，在市场参考价28~38元/盒的范围内定价为36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒售价每下调1元钱，平均每天就能多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒的售价下调多少元？
解题思路提示
此题考查一元二次方程的实际运用，关键是找到题中的等量关系；分析题目，可设每盒的售价下调x元，由题意得到等量关系为：每一盒的利润x销售的数量=获得的利润；根据上述分析可得(36-20-x)(40+10x)=750，解方程求出x的值，再根据定价在28~38元确定符合题意的x的值，从而得到答案。
解题步骤
解:设每盒的售价下调x元，根据题意有：
(36-20-x)(40+10x)=750
整理得：x2-12x+11=0，
解得：X1=1，X2=11，
当x=11时，36-11=25，不在28元~38元的范围内，不合题意，舍去.
所以应将每盒的售价下调1元。
一元二次方程的应用题是期末考的热点，上题是属于买卖问题，解决这类问题的关键是依题意找出题中的数量关系。
跟买卖问题有关市场经济应用题的数量关系有：
商品利润=每盒利润x卖出盒数；
商品利润率=利润÷进价；
利息=本金×利率×期数；
本息和=本金+本金×利率×期数。
通过应用题的学习与考查，我们可以提高大家分析问题和解决问题的能力，此类题型也是近年来考试的热点试题之一。同学们通过上述复习，是否对一元二次方程的知识，有温故而之新的变化。
今天的分享就到这里，欢迎大家在评论区留下您的思路，让我们共同讨论，也许您的思路是最棒的。喜欢文章记得分享哦！
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