选取了2000年1月至2020年5月的纳斯达克指数每个工作日的收盘价作为研究对象，绘制其时序图并作出初步分析。由原始序列时序图可以看出，该时间序列具有较强的趋势性。
为确定其是否为白噪声，进行Box-test检验,检验结果显示P值小于0.05，显然原始序列不是白噪声。
为了拟合股票价格走势，拟合模型是重中之重，为比较不同模型的拟合效果，进行了不同模型的拟合对比分析，主要思路如下：
一、数据的录入，对原数据进行预处理；
二、利用非线性回归的方法进行建模；
三、利用Holt-winters三参数方法进行建模；
四、通过自相关图和ADF检验，检验处理后数据的平稳性，进行下一步ARIMA建模；
五、在同方差的假定下拟合ARIMA模型，根据AIC准则进行定阶；
六、对第五步中的残差进行检验是否存在异方差性，拟合ARCH-GARCH模型；
七、利用rugarch包对ARIMA(3,1,2)-GARCH(1,2)模型进行拟合和预测。
模型拟合
1.非线性回归模型
考虑到纳斯达克指数走势呈现出明显的非线性特点，故使用二次曲线进行拟合。结果显示，开盘价的二次项回归系数为7.198，一次项回归系数为-2.887，它的系数在p<0.01的水平下显著不为0。总的来说，自变量解释了收盘价86.69%方差。
利用二次曲线模型进行拟合并做出预测，并根据AIC准则进行模型拟合度的判定，为此，选择记录了每次AIC信息。最终拟合效果图如下：
2.Holt-winters三参数模型
由代码实现可得出三次指数平滑算法的平滑参数α=0.7624061，β=0.03035442，γ=1，三次指数平滑可以很好的保存时间序列数据的趋势和季节性信息，根据其拟合图，可以看出其在股市收盘价数据集上效果很好。
进一步做出6期预测，预测如下：
3.平稳性检验
对收盘价进行自相关分析。从图3-7中可以看出，自相关系数没有很快的趋近于0，可以初步判断序列是非纯随机、非平稳的。为进一步判断其平稳性，还对其进行了单位根检验，运行得出p值为0.8142，远远大于0.0.5，无法拒绝原假设，故序列不平稳。为进行下一步操作，需要将序列转化为平稳序列。
由于收盘价数值变化范围较大，对其取对数进行降维，再做一阶差分运算。绘制出一阶差分后序列的时序图和自相关图，可以发现序列的趋势性明显被剔除，序列基本平稳。对此进行单位根检验，从单位根检验p值明显小于0.05，故一阶差分后序列是平稳的。
4.ARIMA模型
在差分运算后，趋势图和 ADF 检验结果都显示序列已经是平稳序列，故可以进行ARIMA模型的拟合。针对纳斯达克指数收盘价的差分序列，从s下图可以看出根据 ARMA 模型的AC和PAC图在q阶和p阶之后呈现出拖尾特征，其ARMA模型的p和q分别可以选择 1、2、3、4，并据AIC准则选择最小的，最终选择ARIMA(3,1,2)模型进行拟合。
ARIMA(3,1,2)模型拟合的参数结果如下图所示
对AIRMA(3,1,2)的残差序列进行白噪声检验，结果表明残差序列是白噪声的，说明ARIMA(3,1,2)模型信息提取充分。
为确定残差序列的趋势性，对其进行K-S检验，检验其是否服从正态分布，由代码运行结果可知：p-value<2.2e-16，拒绝原假设，故残差序列不服从正态分布。
为了提高模型拟合的精度，需要对残差序列进行方差齐性检验，并进行深入分析，对此绘制残差序列的时序图，可以看出残差序列在整个序列观察期，序列的方差基本是齐性的，但是在某几段时期内方差显著异于期望方差，故序列出现集群效应，残差序列存在异方差性。
为进一步确定残差序列的异方差性，对残差序列进行LM检验和Portmanteau Q检验，由代码运行结果知两个检验结果均显示p值明显小于显著性水平0.05，故拒绝原假设，则可知，残差序列具有自相关性，而其自相关性导致了异方差性。
5.GARCH模型
由运行结果可知，残差序列的异方差函数并不是短期自相关，而是具有长期自相关性，为避免产生很高的移动平均数，故可采用GARCH模型进行拟合，它可以有效拟合具有长期记忆性的异方差函数。
为得出拟合效果较好的模型，对GARCH模型的参数进行多次取值拟合,根据AIC准则，应选去AIC值最小的模型，按不同模型的AIC数值从小到大排序,结果如下表1。故最终选用GARCH(1,2)模型进行拟合.
依GARCH(1,2)模型对ARIMA(3,1,2)残差序列进行预测，对条件异方差置信区间和方差齐性置信区间进行比较，可以看出异方差模型的拟合区间更符合实际。
综上，根据AIC准则，得出不同模型的优劣，最终结果显示ARIMA (3,1,2)-GARCH(1,2)模型比较适合。
预测
为了对ARIMA(3,1,2)-GARCH(1,2)模型进行预测，在R语言中调用“rugarch”包进行对应的模型拟合和预测，这里进行12期预测，预测值、预测图如下所示。
结论
通过对纳斯达克综合指数的时间序列拟合分析，可以看到纳斯达克综合指数受到国际经济形势的影响，分别在2000年，2008年，2020年出现异方差，主要原因分别是2000年的互联网经济泡沫，2008年金融危机以及2020年新冠疫情，同时可以通过模型预测未来纳斯达克综合指数会不断上升，得到修复。