前言
实际设计控制器时，不可避免会有延迟，包括控制延迟和传感器延迟，当延迟比较大时，可能会造成控制器失稳。因此在控制器设计时，需要考虑延迟的影响。这个问题在网络控制系统(Networked Control system)尤为普遍，相应的解决方法也有很多。文章采用一个简单经典的解决办法——Smith预估补偿，先介绍原理，再在Simulink中实现
Smith 预估补偿原理
一个典型的控制环节如图1所示，
图1： 典型控制系统
系统延迟包括控制延迟τ c a \tau^{ca}τca和传感器延迟KaTeX parse error: Undefined control sequence: \rau at position 1: \̲r̲a̲u̲^{sc}闭环传递函数为：
Y ( s ) R ( s ) = G c ( s ) G p ( s ) e − τ c a s 1 + G c ( s ) G p ( s ) e − τ s c s e − τ c a s \frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G_{c}(s) G_{p}(s) \mathrm{e}^{-\tau^{c a_{s}}}}{1+G_{c}(s) G_{p}(s) \mathrm{e}^{-\tau^{sc}s} \mathrm{e}^{-\tau^{\mathrm{ca} }s}}R(s)Y(s)=1+Gc(s)Gp(s)e−τscse−τcasGc(s)Gp(s)e−τcas
这里执行器以一阶系统为例，其传递函数为：
G p ( s ) = 1 s + 1 G_p(s)=\frac{1}{s+1}Gp(s)=s+11
采用PID算法，器传递函数为：
G c ( s ) = K p ( ( K d K p ) s 2 + s + ( K i K p ) ) s = K p ( T d s + 1 + 1 T i s ) G_{c}(s)=\frac{K_{\mathrm{p}}\left(\left(\frac{K_{\mathrm{d}}}{K_{\mathrm{p}}}\right) s^{2}+s+\left(\frac{K_{\mathrm{i}}}{K_{\mathrm{p}}}\right)\right)}{s}=K_{\mathrm{p}}\left(T_{\mathrm{d}} s+1+\frac{1}{T_{\mathrm{i}} s}\right)Gc(s)=sKp((KpKd)s2+s+(KpKi))=Kp(Tds+1+Tis1)
其中，K p , T d , T i K_p,T_d,T_iKp,Td,Ti分别为比例增益，微分时间常数和积分时间常数。选取控制器参数为K p = 17.2 , T d = 0 ; T i = 0.2 K_p=17.2,T_d=0;T_i=0.2Kp=17.2,Td=0;Ti=0.2。
在系统中引入Smith估计器减少延迟的影响，控制框图如图2所示：
图2：Smith predictor结构
图中τ p \tau_pτp为系统总延迟，有τ p = τ c a + τ s c \tau_p=\tau^{ca}+\tau^{sc}τp=τca+τsc。G p ′ ( s ) e − τ p ′ s G_{p}^{\prime}(s) e^{-\tau_{p}^{\prime} s}Gp′(s)e−τp′s为引入的预估补偿传递函数。该结构的系统闭环传递函数为：
Y ( s ) R ( s ) = G c ( s ) G p ( s ) e − τ c a s 1 + G c ( s ) G p ′ ( s ) + G c ( s ) ( G p ( s ) e − τ p s − G p ′ ( s ) e − τ p ′ s ) \frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G_{c}(s) G_{p}(s) e^{-\tau^{ca} s}}{1+G_{c}(s) G_{p}^{\prime}(s)+G_{c}(s)\left(G_{p}(s) e^{-\tau_{p} s}-G_{p}^{\prime}(s) e^{-\tau_{p}^{\prime} s}\right)}R(s)Y(s)=1+Gc(s)Gp′(s)+Gc(s)(Gp(s)e−τps−Gp′(s)e−τp′s)Gc(s)Gp(s)e−τcas
当不存在模型失配，即G p ′ ( s ) = G p ( s ) , τ p ′ = τ p G_p^{\prime}(s)=G_{p}(s),\tau_{p}^{\prime}=\tau_{p}Gp′(s)=Gp(s),τp′=τp，系统闭环传递函数简化为：
Y ( s ) R ( s ) = G c ( s ) G p ( s ) 1 + G c ( s ) G p ( s ) e − τ c a s \frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G_{c}(s) G_{p}(s)}{1+G_{c}(s) G_{p}(s)} e^{-\tau^{ca} s}R(s)Y(s)=1+Gc(s)Gp(s)Gc(s)Gp(s)e−τcas
观察可以发现，此时系统与没有延迟的系统相比，传递函数只是多乘上了e − τ c a s e^{-\tau^{ca} s}e−τcas。也就相当于闭环回路中不含滞后项，滞后环节也不会影响系统的特征方程，此时系统简化图如图3所示。也就是说经过Smith预测补偿后的系统与无延迟的系统相比，只是将控制过程推迟了时间e − τ c a s e^{-\tau^{ca} s}e−τcas。
图3： 简化后系统模型
Matlab实现
在Simulink中把加smith补偿和没加的都搭出来方便对比。由于比较简单，就不过多赘述，直接上图。
图4：Simulink实现
设置控制延时和传感器延时均为0.05s，仿真结果如图5所示。可以看到未加smith补偿的控制系统(左图)已经失稳，而加上smith补偿的控制系统的响应时稳定，只是有了0.05s的滞后。
图5：两个模型节约二响应(左图：未加smith补偿，右图：添加smith补偿)
总结
由于上述的Smith 预估补偿器是建立在被控对象和网络延迟的精确数学模型之上，而在实际应用中，延迟有可能是随机的，并且Smith 预估模型可能存在扰动，使其不能完全和被控对象模型相匹配，因此这个方法的鲁棒性不强。改进方案也有很多，大致可以分为结构改进和参数整定两类，具体可以参考我下最后列出来的论文。
另外，除了Smith补偿控制，也有很多其他的方法，比如随机最优控制方法，增广状态确定性离散事件模型方法，缓冲队列方法等等。
参考文献
[1]张海涛,李珍.基于Smith预估补偿的网络控制系统仿真研究[J].计算机工程与应用,2012,48(08):243-245.
[1]李珍. 网络化控制系统的延迟补偿研究[D].河南科技大学,2011.