1 logit回归模型的简单介绍：
- 一种常见的机器学习算法
- 用来解决分类问题的，通常是二分类问题，但是也可以解决多分类问题。
- 具体应用：判断银行的客户是否会违约，判断客户是否是优质客户、判断某件产品是否会被销售出去等广泛的分类问题。
特点：具有较好的可解释性。
在logit模型中，因变量只有两个取值0或1.0表示阴性，代表事情没有发生；1表示阳性，表示事情发生了。例如，在预测信用卡是否会违约中，我们可以用0表示没有违约，1表示违约。
2. sigmoid 函数与logit模型：
我们不能采取简单的线性回归模型进行分类预测。我们需要引入一个特殊的函数：sigmoid函数。
在正式引入sigmoid函数之前，我们首先看一下采用线性回归模型存在的问题：
- 采用线性回归模型，要求误差项服从正态分布；但是，如果因变量只能取0-1两个值的情况下，误差项实际服从的不是正态分布，而是伯努利分布。
- 误差项也不是同方差的，而是异方差的。
- 因变量Y的取值也不一定在0，1之间。
这需要我们引入一个特殊的函数，将函数的取值范围压缩在0，1之间，这就需要使用到了sigmoid函数了。sigmoid函数的表达式和图像如下所示：
sigmoid函数的表达式：
exp是自然指数，是一个无限不循环小数；z则是自变量。
注意我们，可以分子、分母同时除以exp(z),得到
sigmoid函数的图像：
函数的图像是s型的。
如果我们将sigmoid函数中的z用一个线性表达式来代替，我们就得到了logit回归模型的表达式了：
这里y的具体表达式如下所示：
i=1,2,3,4,5,6+……n表示的是有n个样本。例如，在信用卡客户是否会违约中，有100个客户，此时n=100
k表示的是解释变量的个数（不含常数项）。例如，在信用卡客户违约判断中，我们可以引入三个解释变量：年龄、收入水平和性别，此时解释变量的数目就是3，k的取值就是3.
这样，我们就可以得到Y取阳性的概率是，在信用卡是否会违约的例子中，就是违约的概率是式子2的表达式。
那么，Y取零值（阴性值）的概率是1-P，P为Y取1（阳性值）的概率。
式3表示的发生比，是发生的概率与不发生概率的比值。如果我们对发生比取自然对数，那么我们就可以得到对数发生比：
根据一定的数学知识，我们可以得到对数发生比（式-4）可以用y来表表示，这样，我们可以得到：
我们得到了logit模型的表达式了。我们可以发现，sigmoid函数原本是一个非线性的函数，但是我们可以通过一系列的变换，一个非线性的函数，最终变成了一个线性的函数了。在计量经济学中，logit模型通常被看做是广义线性回归模型；在机器学习中，则更多的被看做是分类问题。
3. logit模型的求解。
我们知道了logit模型的表达式了，那么我们该如何求得每个参数β的值呢？
首先，我们需要建立logit模型的成本函数。
我们，首先考虑是否可以直接采用线性回归模型的成本函数，也就是采用最小二乘法。
答案是不可以的，因为这一成本函数不是convex的。那么，我们该怎么办呢？
Y只有0、1两个取值，我们可以用如下的式子，将其统一起来：
其中，P_i(latex公式)的表达式是
当Y取1时，式-6的取值就是P；当Y取0时，式-6的取值就是（1-P）了。
一个样本的取值是如此，因为，各个样本之间是相互独立的，因此，把每一个样本的式子6连乘起来得到似然函数：
我们对式-7取对数可以得到，
式-8，是对数似然函数，我们取其最大值便可以得到每一个参数β的解。
求解这个对数似然函数，我们可以采取梯度下降的方法。但是梯度下降法，只能用于求解最小值，因此，我们需要在式-8前面加一个负号，得到logit模型的成本函数。这样，我们就由求解对数极大似然函数的最大值，变成了求解成本函数的最小值了。
采用梯度下降法，我们就可以得到每个参数的解了。具体的运算其实是不需要手算的，我们可以采用软件计算，十分方便。
我们，求得了每个参数的解，现在，我们就可以进行分类预测了。那么，我们该如何评估模型的分类结果呢？
4. 模型的评估
模型的评估手段，有多种：常见的有ROC曲线，AUC，和混淆矩阵等。我们会进行介绍。
我们首先介绍的是混淆矩阵。
字写得不太好，请原谅。
阳性为1，表示事情发生；阴性为0，表示事情没有发生。
如果实际结果为阳性，模型的预测结果也为阳性，我们记为TP
如果实际结果为阴性，模型的预测结果也为阴性，我们记为TN
如果实际结果为阳性，模型的预测结果却为阴性，我们记为FN
如果实际结果为阴性，模型的预测结果却为阳性，我们记为FP
有了混淆矩阵，我们可以计算三个指标：准确率（accuracy ratio），精准率（Precision ratio），召回率（Recall Ratio）和F1得分。
四个指标如下所示：
- 第一个是正确率（accuracy ratio）=(TP+TN)/(TP+TN+FP+FN)
- 第二个是精准率（precision ratio)，指的是预测为真的样本中，实际也为真所占的比例。公式是：TP/(TP+FP)
- 第三个是召回率（recall ratio），指的是真实为真的样本中，被预测出来的样本所占的比例。公式是：TP/(TP+FN)
- F1 score=2/(1/(precision ratio)+1/(recall ratio))=(2∗precision ratio∗recall ratio)/(precision ratio+recall ratio)
这四个指标都是越高越好。当然了，在实际应用中，还是有一定的取舍的！
现在，我们介绍一下ROC曲线和AUC。
先介绍一下ROC曲线。中文名是接收者特征曲线。
- ROC曲线（receiver operating curve)也是用来评估模型效果的一种方法。
- ROC曲线的横坐标为假阳性率，纵坐标为真阳性率。
- 假阳性率FPR=1-TN/(TN+FP)=FP/(TN+FP)
- 真阳性率TPR=TP/(TP+FN)=recall ratio.
- 在不同的阈值之下，假阳性率FPR与真阳性率TPR之间会存在着一一对应的关系，将这一关系连接成线，就成了ROC曲线。
我们通过一个例子来说明一下。
好了，对logit模型，就介绍到这里了！