凯利公式 设一双人游戏非赢即败，且你赢的概率为 p pp，输的概率为 q ( q = 1 − p ) q\ (q=1-p)q (q=1−p)，净赔率为 b bb。则下次投入游戏的最优的资产比为f = p b − q b f=\frac{pb-q}bf=bpb−q
当 f ≤ 0 f\leq0f≤0 时，该游戏不值得参与。
证明： 设进行 n nn 次游戏，第 n nn 次游戏后拥有的资产为 C n C_nCn。
(1) 当第 n nn 次游戏获胜时，C n = C n − 1 × ( 1 + b f ) C_n=C_{n-1}\times(1+bf)Cn=Cn−1×(1+bf)
(2) 当第 n nn 次游戏失败时，C n = C n − 1 × ( 1 − f ) C_n=C_{n-1}\times(1-f)Cn=Cn−1×(1−f)
设共赢了 W WW 把，输了 L LL 把（W + L = n W+L=nW+L=n），则C n = C 0 × ( 1 + b f ) W ⋅ ( 1 − f ) L C_n=C_0\times(1+bf)^W·(1-f)^LCn=C0×(1+bf)W⋅(1−f)L
两边取 log \loglog 底数，得
log ( C n C 0 ) 1 n = W n log ( 1 + b f ) + L n log ( 1 − f ) \log(\frac{C_n}{C_0})^\frac1n=\frac Wn\log(1+bf)+\frac Ln\log(1-f)log(C0Cn)n1=nWlog(1+bf)+nLlog(1−f)
当 n → ∞ n\rightarrow∞n→∞ 时，W n = p \frac Wn=pnW=p，L n = q = 1 − p \frac Ln=q=1-pnL=q=1−p，
lim n → ∞ log ( C n C 0 ) 1 n = p ⋅ log ( 1 + b f ) + ( 1 − p ) ⋅ log ( 1 − f ) \lim_{n\rightarrow∞}\log(\frac{C_n}{C_0})^\frac 1n=p·\log(1+bf)+(1-p)·\log(1-f)n→∞limlog(C0Cn)n1=p⋅log(1+bf)+(1−p)⋅log(1−f)
根据高等数学知识，如果一个函数的一阶导数为 0 00，二阶导数小于 0 00，则这个函数有最大值。经推导，函数y = p ⋅ log ( 1 + b f ) + ( 1 − p ) ⋅ log ( 1 − f ) y=p·\log(1+bf)+(1-p)·\log(1-f)y=p⋅log(1+bf)+(1−p)⋅log(1−f)有最大值。它的一阶导数为 y ′ = p b 1 + b f − 1 − p 1 − f y'=\frac{pb}{1+bf}-\frac{1-p}{1-f}y′=1+bfpb−1−f1−p令它为 0 00 得 f = p b − q b f=\frac{pb-q}{b}f=bpb−q证毕。