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信号的正交分解
相关系数
$$ C_{12}=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt}{\int_{t_1}^{t_2}f_2^2(t)dt} $$
正交条件
$$ \int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt=0 $$
上式为
$f_1(t)$和$f_2(t)$在$t_1$至$t_2$区间内的正交条件,满足此条件时,称$f_1(t)$和$f_2(t)$在$t_1$至$t_2$区间内互为正交函数.
连续时间周期信号的傅氏级数
三角形式的傅氏级数
周期信号$f(x)$可表示为如下线性组合 $$ f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega_1t+b_n\sin n\omega_1t) $$ 上式是傅氏级数的三角形式,其中的$a_0,a_n,b_n$由如下公式定义 $$ \begin{cases} a_0=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt\ a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos n\omega_1tdt,n\ b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin n\omega_1tdt,n \end{cases} $$
指数形式的傅氏级数
周期信号$f(x)$亦可表示为如下线性组合 $$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)e^{jn\omega_1t} $$ 上式是傅氏级数的指数形式,其中的$F(n\omega_1)$被称为谱系数,定义如下 $$ F(n\omega_1)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-jn\omega_1t}dt $$ 谱系数也可表示为$F_n$,如果写成指数式,得$F_n=|F_n|e^{j\varphi_n}$,说明他包含了$n$次谐波$|F_n|$和$n$次谐波相位$\varphi_n$,在频域包含了信号的所有信息.
两种傅氏级数的关系
$$ F(\pm n\omega_1)=\frac{1}{2}(a_n\mp jb_n) $$
周期矩形脉冲的频谱和周期的关系
周期矩形脉冲的傅氏级数为 $$ F_n=\frac{E\tau}{T}Sa(\frac{n\pi\tau}{T}) $$ 式中$\tau$是每一脉冲持续时间,高度为$E$,重复周期为$T$.
频谱图的谱线出现的坐标为$n\omega_1$,其中$\omega_1=\frac{2\pi}{T}$为基频(频谱宽度),频谱的包络线的第一零点为$\omega_0=\frac{2\pi}{\tau}$.
周期越长,频谱越密.
从原点到频谱第一零点的宽度称为频宽/带宽.
时域中信号持续时间越短,频域中信号占有的频带也越宽.
一道典型例题
若已知$f(t)=1+\sin \omega_1t+2\cos \omega_1t+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})$,画出其幅度频谱和相位频谱.
解: 根据辅助角公式$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\arctan\frac{b}{a})$,得 $$ \begin{align} f(t)&=1+\sqrt{1+2^2}\cos(\omega_1t+\arctan(2)-\frac{\pi}{2})+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})\notag\ &=1+\sqrt{5}\cos(\omega_1t-0.148\pi)+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4}) \tag{} \end{align} $$ 便可以通过$()$式画出直流量,一次谐波和二次谐波的幅度谱和相位谱.
也可直接转化为指数形式,得 $$ \begin{align} f(t)&=1+\frac{1}{2j}(e^{j\omega_1t}-e^{-j\omega_1t})+(e^{j\omega_1t}+e^{-j\omega_1t})+\frac{1}{2}(e^{j(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})}-e^{-j(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})})\notag\ &=1+(1+\frac{1}{2j})e^{j\omega_1t}+(1-\frac{1}{2j})e^{j\omega_1t}+(\frac{1}{2}e^{\frac{j\pi}{4}})e^{j2\omega_1t}+(\frac{1}{2}e^{-\frac{j\pi}{4}})e^{j2\omega_1t}\notag\ &=\sum_{n=-2}^{2}F_ne^{jn\omega_1t}\notag \end{align} $$ 谱系数分别为 $$ \begin{cases} \begin{align} F_0&=1=1\cdot e^{j\cdot 0}\notag\ F_1&=1+\frac{1}{2j}=1-\frac{j}{2}=1.12e^{-j0.148\pi}\notag\ F_2&=\frac{1}{2}e^{\frac{j\pi}{4}}=0.5e^{j0.25\pi}\notag\ F_{-1}&=1-\frac{1}{2j}=1+\frac{j}{2}=1.12e^{j0.148\pi}\notag\ F_{-2}&=\frac{1}{2}e^{-\frac{j\pi}{4}}=0.5e^{-j0.25\pi}\notag \end{align} \end{cases}\tag{} $$ 便可以通过$()$式画出直流量,一次谐波和二次谐波的幅度谱和相位谱.
傅氏级数的性质
时移性质
$$ f(t-t_0)\leftrightarrow F_ne^{-jn\omega_1t_0} $$
微分性质
$$ f^{'}(t)\leftrightarrow (jn\omega_1)F_n $$
对称性质
偶函数
$$ \begin{align} b_n&=0\notag\ \varphi_n&=0\notag \end{align} $$
奇函数
$$ \begin{align} a_0&=a_n=0\notag\ \varphi_n&=-\frac{\pi}{2}\notag \end{align} $$
奇谐函数
$$ \begin{align} a_0&=0\notag\ a_n&=b_n=0,\text{n is even}\notag \end{align} $$
偶谐函数
$$ a_n=b_n=0,\text{n is odd} $$
连续时间非周期信号的傅氏变换
傅氏变换
非周期信号$f(t)$的傅氏变换为 $$ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega $$ 其中$f(\omega)$称为频谱函数,定义为 $$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt $$ 上两式构成一对变换对$f(t)\leftrightarrow F(\omega)$.
傅氏变换存在的充分条件为绝对可积条件,即 $$ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt=\text{finite value} $$
典型非周期信号的傅氏变换
矩形脉冲信号(门函数)
$$ \begin{align} f(t)&=G_\tau(t)=u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})\notag\ F(\omega)&=\tau\text{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})\notag \end{align} $$
单边指数信号
$$ \begin{align} f(t)&=e^{-\alpha t}u(t)\notag\ F(\omega)&=\frac{1}{\alpha+j\omega}=\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+\omega^2}}e^{-j\arctan(\frac{\omega}{\alpha})}\notag \end{align} $$
要注意是单边,时域中必须要有$u(t)$项,不然不满足此公式.
高斯脉冲信号
$$ \begin{align} f(t)&=e^{-(at)^2}\notag\ F(\omega)&=\frac{\sqrt{\pi}}{a}e^{-(\frac{\omega}{2a})^2}\notag \end{align} $$
直流信号
$$ \begin{align} f(t)&=1\notag\ F(\omega)&=2\pi\delta(\omega)\notag \end{align} $$
符号函数
$$ \begin{align} f(t)&=\text{sgn}(t)=\begin{cases}1,t>0\-1,t<0\end{cases}\notag\ F(\omega)&=\frac{2}{j\omega}\notag \end{align} $$
单位冲激信号
$$ \begin{align} f(t)&=\delta(t)\notag\ F(\omega)&=1\notag \end{align} $$
冲激偶信号
$$ \begin{align} f(t)&=\delta^{'}(t)\notag\ F(\omega)&=j\omega\notag \end{align} $$
抽样信号
$$ \begin{align} f(t)&=\text{Sa}(\omega_0t)\notag\ F(\omega)&=\frac{\pi}{\omega_0}G_{2\omega_0}(\omega)=\frac{\pi}{\omega_0}[u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)]\notag \end{align} $$
三角脉冲信号
宽度为$\tau$,高度为$E$. $$ \begin{align}f(t)&=\begin{cases}\frac{2E}{\tau}t+E,-\frac{\tau}{2}
傅氏变换的性质
对称性
若满足 $$ f(t)\leftrightarrow F(\omega) $$ 则有 $$ F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega) $$ 若$f(t)$是偶函数,则有 $$ F(t)\leftrightarrow 2\pi f(\omega) $$ 此性质的意义为若一个时间函数$F(\omega)$和偶函数$f(t)$的频谱函数$F(\omega)$形式相同,那么$F(t)$的频谱函数与偶函数$f(t)$形式相同,但是差一个系数$2\pi$.
时移特性
$$ f(t-t_0)\leftrightarrow F(\omega)e^{-j\omega t_0} $$
尺度变换特性
$$ f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a}) $$
一般的,有 $$ f(at+b)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}e^{j\omega(\frac{b}{a})}F(\frac{\omega}{a}) $$
频移特性
$$ f(t)e^{j\omega_0t}\leftrightarrow F(\omega-\omega_0) $$
此性质的意义是在时域乘以虚数因子$e^{j\omega_1t}$相当于在频域右移$\omega_0$.
通过此性质可迅速得出虚指数信号$e^{j\omega_0t}$的傅氏变换 $$ e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0) $$
时域微分特性
$$ f^{(n)}(t)\leftrightarrow (j\omega)^nF(\omega) $$
频域微分特性
$$ (-jt)^nf(t)\leftrightarrow F^{(n)}(\omega) $$
特殊的,有 $$ tf(t)\leftrightarrow jF^{'}(\omega) $$ 此式更常用.
在时域中信号乘以$t$或者$t^n$要迅速想到套用该公式.
时域积分特性
如果在$\omega=0$时,$F(0)=0$或者$\frac{F(\omega)}{\omega}$有界,则有 $$ \int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\leftrightarrow \frac{F(\omega)}{j\omega} $$ 如果在$\omega=0$时,$F(0)\ne0$,则有 $$ \int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\leftrightarrow\pi F(0)\delta(\omega)+\frac{F(\omega)}{j\omega} $$
卷积定理
$$ \begin{align} f_1(t)*f_2(t)&\leftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega)\notag\ f_1(t)f_2(t)&\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)\notag \end{align} $$
卷积定理是通信与信号处理领域应用最广泛的傅氏变换性质.
帕塞瓦尔定理
周期信号$f(t)$的平均功率与傅氏系数的关系为 $$ P=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|F_n|^2 $$ 这表示信号的平均功率等于傅氏级数各次谐波分量有效值的平方和,时域和频域的能量是守恒的. $$ \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega\notag\ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt&=\int_{-\infty}^{\infty}|F(f)|^2df\notag \end{align} $$ 上式即为帕塞瓦尔定理,说明信号经过傅氏变换,信号的能量不变,符合能量守恒定律.注意系数$\frac{1}{2\pi}$.
信号的功率和能量
$$ \begin{align} E&=\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2dt\notag\ P&=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2dt\notag \end{align} $$
周期函数的傅氏变换
表达式
设一周期信号的周期为$T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}$,则其傅氏变换为 $$ F_T(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\delta(\omega-n\omega_1) $$ 其中 $$ F(n\omega_1)=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\omega_1t}dt $$
通过脉冲求周期信号的傅氏变换
设脉冲信号为$f_0(t)$,其傅氏变换为$F_0(\omega)$,即 $$ f_0(t)\leftrightarrow F_0(\omega) $$ 则由此脉冲信号组成的周期信号的傅氏变换满足以下关系 $$ F(n\omega_1)=\frac{1}{T_1}F_0(\omega)|_{\omega=n\omega_1} $$
再代入下式即可 $$ F(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\delta(\omega-n\omega_1) $$
冲激序列
$$ \delta_{t_0}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn\omega_0t} $$
$$ \delta_{t_0}\leftrightarrow \omega_0\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_0) $$
正弦/余弦函数
$$ \begin{align} sin(\omega_0t)&\leftrightarrow -j\pi[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]\notag\ cos(\omega_0t)&\leftrightarrow \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\notag \end{align} $$
抽样
理想抽样
使用单位冲激序列进行抽样,由于单位冲激序列的傅氏变换为 $$ P(\omega)=\omega_1\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_1) $$ 式中$T_s$为脉冲间隔.所以有 $$ F_s(\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_1) $$
矩形脉冲抽样
使用矩形脉冲抽样,由于矩形脉冲的傅氏变换为 $$ P(\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\text{Sa}(\frac{n\omega_s\tau}{2})e^{jn\omega_st} $$ 所以有 $$ F_s(\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\text{Sa}(\frac{n\omega_s\tau}{2})F(\omega-n\omega_s) $$
抽样定理
对于一个时间信号,其带宽最高频为$\omega_m$或$f_m$,则将最低允许的抽样频率 $$ f_s=2f_m $$ 称为麦奎斯特抽样频率.
将最大允许的抽样间隔 $$ T_s=\frac{1}{2f_m}=\frac{\pi}{\omega_m} $$ 称为麦奎斯特抽样间隔.