莫队算法

本质上。。似乎是大暴力。。。
##传说中能解决一切区间问题的算法
如果我们**知道区间$[L,R]$，就能在比较短的时间内求出$[L-1,R],[L+1,R],[L,R-1],[L,R+1]$**的话，那就可以用莫队算法了。

有一种经典的问题：给你一些不带修改的区间询问，要求快速回答

显然，有一些我们可以通过线段树来完成，因为线段树是$O(NlogN)$的

但是，线段树有的东西是维护不了的。

看一个例子

给你一个数列，若干询问，要求回答区间内同种颜色的数量。

线段树很难做，怎么办？

用莫队算法！

莫队算法的实质是通过将询问排序，每个询问均由前一个询问（排序后的）转移得来，通过一定的排序优化时间复杂度。往往可以有$O(N\sqrt{N})$的效果

回到题目
显然对于两次询问$L,R$和$L^{\prime },R^{\prime }$，知道了$L,R$的答案,就可以暴力计算$|L-L^{\prime }|+|R-R^{\prime }|$次得出$L^{\prime },R^{\prime }$的答案。

$|L-L^{\prime }|+|R-R^{\prime }|$。也就是曼哈顿距离

把每个询问看作是二维平面上的点，那么我们的最小总时间，就是这些点的最小曼哈顿距离生成树， 按照这个树的顺序做，复杂度变成了$O(N\sqrt{N})$（为什么？），而且这个生成树连边也有特别的技巧，可以去看莫队在知乎上推荐的那篇。https://zhuanlan.zhihu.com/p/25017840

然而这样有一点猥琐

有一个优美方便简洁好理解的替代品

分块大法好！

把整个序列分块，把$L$按照所在块的顺序为第一关键字，把$R$（$R$本身!）为第二关键字排序。

为什么要分块不能直接排呢？

分块很好的减少了一种情况的影响。

$L<L^{\prime }<L^{\prime \prime }$，并且距离很近，但是$R^{\prime }<R<R^{\prime \prime }$，并且$R^{\prime }$与另外两个离得很远。如果直接按$L$排序就会浪费非常多的时间。

由于每个块的大小是$\sqrt{N}$

分块使得两个询问之间差异平均到了$L,R$上。

因此，理论复杂度大约是$O(N\sqrt{N})$，实际上是$O($玄学？？跑的过就行$)$（假设询问数与序列长度同阶）

带上了修改，怎么办？

然后我们继续分块。

把二元组$L,R$变成三元组$L,R,x$。$x$是这次询问在修改第几次后。

然后把$R$所在块看作第二关键字，$x$看作第三关键字排序即可。

转移时直接恢复（或删除）两次询问之间的修改。如果在区间内还要计算对答案的影响

然而修改的复杂度不同

最优分块方式是每块$N^{\frac{2}{3}}$，总共$N^{\frac{1}{3}}$块
左指针移动$N\ast N^{\frac{2}{3}}=N^{\frac{5}{3}}$次
右指针移动$N\ast N^{\frac{2}{3}}=N^{\frac{5}{3}}$次
修改指针移动${(N^{\frac{1}{3}})}^2\ast N=N^{\frac{5}{3}}$次

总复杂度$N^{\frac{5}{3}}$

在实际操作中，有时取一些什么$\sqrt{n}\ast 10$之类的奇葩的数可能更快

有一道板题
http://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/51880644

回滚莫队（仅插入无需删除）

有时候我们需要处理一些特殊情况，例如维护区间最大最小值。
加入的时候我们很好处理，但删除就不知道该怎么办了。

此时就需要一些处理技巧。

我们仍然对于询问排序，将序列分块，第一关键字为左端点所在块的位置，第二关键字为右端点位置。

对于询问左端点在同一块的情况，右端点是有序的，但左端点可能在这块中是无序的，那么我们直接将左端点定在这一块的右端，由于询问右端点是单调递增的，右端点可以不断向后扩展，碰到一个询问，我们就将当前左端点暴力移到询问的左端点，计算答案，再暴力移回当前块的右端。

可能有疑惑：这不是一样需要删除吗？
其实不然，我们可以在左移前保存状态，计算完直接恢复。或者在每个位置记录在哪里修改了，原状态是什么，回滚的时候将修改撤销即可。

与普通莫队相比，每一个询问我们仅仅是左端点多移了不超过一个块的距离，因此总复杂度仍然是$m\sqrt{n}$的，非常优秀！