BP神经网络权值、阈值更新公式推导

这里记录一下BP神经网络的误差逆向传播算法：
1.针对特殊的一种激活函数:$sigmoid(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$来推导BP神经网络的权值和阈值更新公式：
给定训练集:$D=\left \{ \left ( x_1,y_1{} \right ),\left ( x_2,y_2 \right )...,\left ( x_m,y_m \right )\right \},x_i\in\mathbb{R}^{d},y_i\in \mathbb{R}^{l}$,即输入属性序列由${d}$个属性描述，输出${l}$维实值向量。为了方便讨论，图1给出了拥有${d}$个输入神经元，${l}$个输出神经元，${q}$个隐层神经元的多层前馈网络结构，其中输出层为第${j}$个神经元的阈值用${\theta }$表示，隐层第${h}$个神经元用${\varphi _h}$表示。输入层第${i}$个神经元与隐层第${h}$个神经元之间的连接权为${v_{ih}}$,隐层第${h}$个神经元与输出层第${j}$个神经元之间的连接权为${\omega _{hj}}$。

图1 BP神经网络即算法中的符号变量
记隐层第${h}$个神经元接收到的输入为${\alpha _h=\sum _{i=1}^{d}v_{ih}x_i}$,输出层的第${j}$个神经元接收到的输入为:$\beta _j=\sum _{h=1}^{q}\omega _{hj}b_h$,其中${b_h}$为隐层第${h}$个神经元的输出。现在假设隐层和输出层都使用Sigmoid函数：
对训练例${(x_k,y_k)}$,假定神经网络的输出为：${\widehat{y_k}=(\widehat{y_1},\widehat{y_2},......\widehat{y_l})}$,即：

${\widehat{y_k}=(\beta _j-\theta _j)}$(1)
则网络在${(x_k,y_k)}$上的均方误差为：
$E_k=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{l}(\widehat{y_{j}^{k}}-y_{j}^{k})$(2)
图1中的网络中有${(d+l+1)}q+l$个参数需要确定。BP是一个迭代学习算法，在迭代的每一轮采用广义的感知机学习规则对参数进行更新估计。下面我们以图1中的隐层到输出层的连接权值${\omega _{hj}}$为例来进行推导：
BP算法基于梯度下降(gradient descent)策略,以目标的负梯度方向对参数进行调整，对公式2中的误差$E_k$,给定学习率$\eta$,有：
$\Delta w_{hj}=-\eta \frac{\partial E_k}{\partial w_{hj} }$(3)
注意到$w_{hj}$先影响到第$j$个输出神经元的输入值$\beta _j$,再影响到其输出值$\widehat{y_{j}^{k}}$,然后影响到$E_k$,有：
$\frac{\partial E_k}{\partial w_{hj}}=\frac{\partial E_k}{\partial \widehat{y_{j}^{k}}}\cdot \frac{\partial \widehat{y_{j}^{k}}}{\partial \beta _j}\cdot \frac{\partial \beta _j}{\partial w_{hj}}$(4)
根据$\beta _j$的定义有：$\frac{\partial \beta _j}{\partial w_{hj}}=b_h$,并且Sigmoid函数有一个很好的性质：${f(x)}'=f(x)(1-f(x)$，于是根据公式(1)和(2)，有：
$g_j=\frac{\partial E_k}{\partial \widehat{y_{j}^{k}}}\cdot \frac{\partial \widehat{y_{j}^{k}}}{\partial \beta _j} =-(\widehat{y_{j}^{k}}-y_{j}^{k}){f}’(\beta_j -\alpha_j )=(y_{j}^{k}-\widehat{y_{j}^{k}})\widehat{y_{j}^{k}}(1-\widehat{y_{j}^{k}})$(5)
将公式(5)带入到公式(4)，再带入到公式(3)中，就得到了BP算法中关于$w_{hj}$的更新公式：
$\Delta w_{hj}=\eta g_jb_h$(6)
而${\Delta\theta_j }$的更新公式为：
${\Delta\theta_j }=-\eta \frac{\partial E_k}{\partial \theta_j}=-\eta \frac{\partial E_k}{\partial \widehat{y_{j}^{k}}}\cdot \frac{\partial \widehat{y_{j}^{k}}}{\partial \theta _j}=-\eta (y_{j}^{k}-\widehat{y_{j}^{k}})\cdot \widehat{y_{j}^{k}}\cdot (1-\widehat{y_{j}^{k}})=-\eta g_j$(7)
BP神经网络的输出层到隐层的连接权值${\Delta v_{ih} }$的更新估计式为：
$\Delta v_{ih}=-\eta \frac{\partial E_k}{\partial v_{ih}}=-\eta \frac{\partial E_k}{\partial b_h}\cdot \frac{\partial b_h}{\partial \alpha _h}\cdot \frac{\partial \alpha _h}{\partial v_{ih}}$
$=-\eta \sum _{j=1}^{l}\frac{\partial E_k}{\partial \beta _j}\cdot \frac{\partial \beta _j}{\partial b_h}{f}'(\alpha _h-\gamma _h)x_i=\eta b_h(1-b_h))\sum _{j=1}^{l}\omega _{hj}g_j$
$=\eta e_hx_i$
BP神经网络的隐层第$h$个神经元的阈值$\gamma _h$的更新公式为：
$\Delta \gamma _h=-\eta \frac{\partial E_k}{\partial \gamma _h}=-\eta \sum _{j=i}^{l}\frac{\partial E_k}{\partial \beta _i}\cdot \frac{\partial \beta _i}{\partial b_h}\cdot \frac{\partial b_h}{\partial \gamma _h}=-\eta e_h$
学习率$\eta \in (0,1)$控制着算法每一轮迭代中的更新步长；