第一章，06-行列式的降阶计算-余子式和代数余子式

简介

这是《玩转线性代数》的学习笔记。
示例请查看原文

余子式

在n阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在的第i行与第j列划去后留下的$n-1$阶行列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$。

代数余子式

在n阶行列式中，记$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$为元素的代数余子式。

代数余子式相关定理

一个n阶行列式，如果其中第i行只有一个$a_{ij}$非零，则行列式$D=a_{ij}{A}_{ij}$。
由于转置不改变行列式的值，行和列其实是等价的，所以这定理对列也成立。

行列式按行(列)展开法则

n阶行列式$D$等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{ik}(i=1,2,\cdots ,n)，$$
或
$$D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}=\sum _{k=1}^n{a}_{kj}{A}_{kj}(j=1,2,\cdots ,n)。$$

证明

任选$D$的第i行，把该行元素都写作n个数之和：
$$\begin{gathered} D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+0+\cdots +0& 0+a_{i2}+\cdots +0& \cdots & 0+\cdots +0+a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& a_{i2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\cdots +\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right| \end{gathered}$$
则
$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{ik}(i=1,2,\cdots ,n)$$

展开定理的推论

行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0。即:
$$a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=0,i\ne j{a}_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+\cdots +a_{ni}{A}_{nj}=0,i\ne j$$

例：
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+\cdots +a_{1n}{A}_{1n}$$
将等式两边的$a_{11}$换成$a_{21}$，$a_{12}$换成$a_{22}$，$a_{1n}$换成$a_{2n}$，即用第二行元素替换第一行，对应行列式为：
$$a_{21}{A}_{11}+a_{22}{A}_{12}+\cdots +a_{2n}{A}_{1n}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=0。$$

另：
将等式两边的$a_{11}$换成$b_1$，$a_{12}$换成$b_2$，$a_{1n}$换成$b_n$，即用第二行元素替换第一行，对应行列式为：
$$b_1{A}_{11}+b_2{A}_{12}+\cdots +b_n{A}_{1n}=\left|\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
即要计算某行(列)元素代数余子式的组合$b_1{A}_{11}+b_2{A}_{12}+\cdots +b_n{A}_{1n}$时，只要将该行(列)替换为系数即可。