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基本不等式及其证明
调和平均值：M 1 ‾ = n 1 x 1 + 1 x 2 + . . . + 1 x n \overline{M_1}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}M1=x11+x21+...+xn1n
几何平均值：M 2 ‾ = x 1 x 2 . . . x n n \overline{M_2}=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}M2=nx1x2...xn
算术平均值：M 3 ‾ = x 1 + x 2 + . . . + x n n \overline{M_3}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}M3=nx1+x2+...+xn
平方平均值：M 4 ‾ = x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2 n \overline{M_4}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}}M4=nx12+x22+...+xn2
大小关系：M 1 ‾ ≤ M 2 ‾ ≤ M 3 ‾ ≤ M 4 ‾ ( x 1 = x 2 = x 3 = . . . = x n ) \overline{M_1}\leq\overline{M_2}\leq\overline{M_3}\leq\overline{M_4}\quad(x_1=x_2=x_3=...=x_n)M1≤M2≤M3≤M4(x1=x2=x3=...=xn)
证明M 2 ‾ ≤ M 3 ‾ \overline{M2}\leq\overline{M3}M2≤M3
证明M 1 ‾ ≤ M 2 ‾ \overline{M1}\leq\overline{M2}M1≤M2
证明M 3 ‾ ≤ M 4 ‾ \overline{M3}\leq\overline{M4}M3≤M4
对凸函数理解为：
上图我自己比较难理解所以由数学分析中表述为：
f为I上凸函数充要条件为：对于I上任意三点x 1 < x 2 < x 3 x_1<x_2<x_3x1<x2<x3总有f ( x 2 ) − f ( x 1 ) x 2 − x 1 ≤ f ( x 3 ) − f ( x 2 ) x 3 − x 2 \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}x2−x1f(x2)−f(x1)≤x3−x2f(x3)−f(x2)
此处说法可理解为函数斜率再在增加，又可等价为f可导时，函数的导函数为增函数
图像可理解为向下凸的图像例如
进一步理解凸函数中（1）式=定理6.14.=下列论断等价(前提：f为区间I上可导函数):①f为I上凸函数⟺ \Longleftrightarrow⟺②f’为I上增函数⟺ \Longleftrightarrow⟺③I上任意两点x 1 , x 2 , f ( x 2 ) ≥ f ( x 1 ) + f ′ ( x 1 ) ( x 2 − x 1 ) x_1,x_2,f(x_2)\geq f(x_1)+f'(x_1)(x_2-x_1)x1,x2,f(x2)≥f(x1)+f′(x1)(x2−x1)
①推②：任意找两点做导数极限判别大小
②推③：
l a g r a n g e 中 值 定 理 得 到 [ a , b ] 连 续 , ( a , b ) 可 导 时 满 足 f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a 以 x 1 , x 2 两 点 为 端 点 的 区 间 由 f ′ 的 增 函 数 条 件 可 得 ： f ( x 2 ) − f ( x 1 ) = f ′ ( ξ ) ( x 2 − x 1 ) ≥ f ′ ( x 1 ) ( x 2 − x 1 ) 变 形 可 得 到 上 式 ③ lagrange中值定理得到[a,b]连续,(a,b)可导时满足f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ 以x_1,x_2两点为端点的区间由f'的增函数条件可得：\\ f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)\geq f'(x_1)(x_2-x_1)变形可得到上式③lagrange中值定理得到[a,b]连续,(a,b)可导时满足f′(ξ)=b−af(b)−f(a)以x1,x2两点为端点的区间由f′的增函数条件可得：f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)≥f′(x1)(x2−x1)变形可得到上式③
③推①：
拉格朗日乘子
一般解决条件极值问题比较方便
- 条件极值问题：
条 件 组 限 制 下 ： ϕ k ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0 k = 1 , 2 , . . . , m ( m < n ) 条件组限制下：\phi_k(x_1,x_2,...,x_n)=0 \quad k=1,2,...,m\quad(m<n)条件组限制下：ϕk(x1,x2,...,xn)=0k=1,2,...,m(m<n)
求 目 标 函 数 ： y = f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) 求目标函数：y=f(x_1,x_2,...,x_n)求目标函数：y=f(x1,x2,...,xn)
l a g r a n g e 乘 数 法 就 是 一 种 不 依 赖 消 元 而 求 解 条 件 极 值 问 题 的 有 效 方 法 lagrange乘数法就是一种不依赖消元而求解条件极值问题的有效方法lagrange乘数法就是一种不依赖消元而求解条件极值问题的有效方法
Jensen不等式
这里还不太明白所以先挖坑
稍后要总结一下隐函数和拉格朗日乘子的其他内容
上述内容参考：
献给高中生——均值不等式与Jensen不等式
均值不等式的四大证明方法合辑…
Jensen不等式初步理解及证明
凸函数与凹函数
[数学分析华东师大版第四版上下册]（这个有需要大家可以私信pdf或者自己买哈）